每週問題 April 22, 2013

這是運用特徵方程的證明技巧練習問題。

Let A be an invertible matrix. If the sum of the elements of every row of A is equal to k, show that the sum of the elements of every row of A^{-1} is equal to 1/k.

 
參考解答:

對於每一列 i\sum_ja_{ij}=k 意味 A\mathbf{e}=k\mathbf{e},其中向量 \mathbf{e} 的所有元為 1。因為 A 可逆,即知 k\neq 0,否則 A 有零特徵值。使用上式,可得

\displaystyle  A^{-1}\mathbf{e}=A^{-1}\left(\frac{1}{k}A\mathbf{e}\right)=\frac{1}{k}A^{-1}A\mathbf{e}=\frac{1}{k}\mathbf{e}

即證明 A^{-1} 的每一列的所有元總和等於 1/k

PowSol-April-22-13

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