每週問題 April 29, 2013

這是關於分塊矩陣秩的證明問題。

Let A be an invertible matrix. If

\mathrm{rank}\begin{bmatrix}  A&B\\  C&D  \end{bmatrix}=\mathrm{rank}A,

prove that D=CA^{-1}B.

 
參考解答:

給出的條件說明 \begin{bmatrix}  C&D  \end{bmatrix} 的每一列都可表示成 \begin{bmatrix}  A&B  \end{bmatrix} 的列的線性組合。因為 A 可逆,分塊矩陣 \begin{bmatrix}  A&B  \end{bmatrix} 有線性獨立的列。所以,存在唯一 E 使得

\begin{bmatrix}  C&D  \end{bmatrix}=E\begin{bmatrix}  A&B  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  EA&EB  \end{bmatrix}

合併以上結果,D=EB=CA^{-1}B

PowSol-April-29-13

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