線代膠囊──線性變換表示矩陣

本文的閱讀等級:初級

T:\mathcal{V}\to\mathcal{W} 是從向量空間 \mathcal{V} 映至向量空間 \mathcal{W} 的一線性變換。如何將線性變換 T 表示成矩陣 A

 
線代箴言:「基底無敵。」針對一向量空間 \mathcal{X},一組基底 \boldsymbol{\beta}=\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\} 是屬於 \mathcal{X} 的向量集,滿足兩個性質:第一,\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\} 是一個線性獨立集;第二,\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n 的所有線性組合填滿 \mathcal{X},或者說 \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\} 生成 (span) \mathcal{X}

 
基底的主要用途在於「表達向量」。對於任一 \mathbf{x}\in\mathcal{X},存在唯一數組 (c_1,\ldots,c_n) 使得 \mathbf{x}=c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_n\mathbf{x}_n,我們說 \mathbf{x} 參考基底 \boldsymbol{\beta} 的座標向量是 [\mathbf{x}]_{\boldsymbol{\beta}}=(c_1,\ldots,c_n)^T。顯然,向量 \mathbf{x}\in\mathcal{X} 與座標向量 [\mathbf{x}]_{\boldsymbol{\beta}}\in\mathbb{C}^n 有一對一的對應關係,\mathbf{x}\rightleftharpoons[\mathbf{x}]_{\boldsymbol{\beta}},我們稱座標映射 [\cdot]_{\boldsymbol{\beta}} 是一個同構 (isomorphism)。從向量空間的層次來說,原始向量空間 \mathcal{X} 和幾何座標空間 \mathbb{C}^n 是同構的 (isomorphic)。

 
線代箴言:「問對問題。」令 \boldsymbol{\beta}=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} 是向量空間 \mathcal{V} 的一組基底,\boldsymbol{\gamma}=\{\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_m\} 是向量空間 \mathcal{W} 的一組基底。給定 T:\mathcal{V}\to\mathcal{W},如何表達 T(\mathbf{v}_j)j=1,\ldots,n?因為每一個像 (image) T(\mathbf{v}_j)\in\mathcal{W},可知存在唯一數組 a_{1j},\ldots,a_{mj} 使得

T(\mathbf{v}_j)=a_{1j}\mathbf{w}_1+a_{2j}\mathbf{w}_2+\cdots+a_{mj}\mathbf{w}_m,~~j=1,\ldots,n

換句話說,T(\mathbf{v}_j) 參考基底 \boldsymbol{\gamma} 的座標向量是

\begin{bmatrix}  T(\mathbf{v}_j)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}=\begin{bmatrix}  a_{1j}\\  a_{2j}\\  \vdots\\  a_{mj}  \end{bmatrix},~~j=1,\ldots,n

按照次序將這些座標向量排列成一 m\times n 階矩陣,此之謂 T 參考基底 \boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\gamma} (基底順序不可顛倒) 的表示矩陣 (matrix representation),貼上標籤即大功告成:

[T]_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}=A=\begin{bmatrix}  a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\  a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\  \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\  a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}  \end{bmatrix}

其中第 j 行即為 T(\mathbf{v}_j) 參考 \boldsymbol{\gamma} 的座標向量。

 
為延長記憶半衰期,我們不妨用 [T(\boldsymbol{\beta})]_{\boldsymbol{\gamma}} 取代以上下標記的傳統表達 [T]_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}。(試問,[T]_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}} 的上標和下標到底是誰先誰後呀?) 線代箴言:「不言而喻。」新記號 [T(\boldsymbol{\beta})]_{\boldsymbol{\gamma}} 的優點是它具備強烈的提示效用:內成分 T(\boldsymbol{\beta}) 暗示 \boldsymbol{\beta} 的基底向量送入線性變換 T,外包裝 [\cdot]_{\boldsymbol{\gamma}} 則表明將映射結果寫成參考 \boldsymbol{\gamma} 的座標向量。

 
上述從線性變換 T 到表示矩陣 A 的推演過程可濃縮成一線性變換膠囊:\Psi(T)=A,其中 \Psi 是一同構,即當基底 \boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\gamma} 固定時,每一 m\times n 階矩陣 A 都對應唯一的線性變換 T:\mathcal{V}\to\mathcal{W},反之亦然。若以線性變換表示矩陣 A 取代 T,則映射過程 T(\mathbf{x}) 轉換為矩陣運算:

\begin{bmatrix}  T(\mathbf{x})  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}=A[\mathbf{x}]_{\boldsymbol{\beta}}

何以見得?用基底向量 \mathbf{v}_j 取代 \mathbf{x},等號左邊是 [T(\mathbf{v}_j)]_{\boldsymbol{\gamma}},等號右邊是 A[\mathbf{v}_j]_{\boldsymbol{\beta}}=A\mathbf{e}_j=(a_{1j},a_{2j},\ldots,a_{mj})^T (這裡 \mathbf{e}_j 表示標準單位向量,其第 j 元等於 1,其餘元等於 0),即得證。直接計算亦可證明:設 \mathbf{x}=\sum_{j=1}^nc_j\mathbf{v}_j,則

\displaystyle  T(\mathbf{x})=T\left(\sum_{j=1}^nc_j\mathbf{v}_j\right)=\sum_{j=1}^nc_jT(\mathbf{v}_j)

將上式代入座標映射 [\cdot]_{\boldsymbol{\gamma}}

\displaystyle  \begin{bmatrix}  T(\mathbf{x})  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}=\sum_{j=1}^nc_j\begin{bmatrix}  T(\mathbf{v}_j)  \end{bmatrix}_{\gamma}=\begin{bmatrix}  a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\  a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\  \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\  a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  c_1\\  c_2\\  \vdots\\  c_n  \end{bmatrix}=A[\mathbf{x}]_{\boldsymbol{\beta}}

 
最後展示一張膠囊圖,名曰:「袖裏乾坤真個大」。

線性變換表示矩陣

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5 Responses to 線代膠囊──線性變換表示矩陣

  1. npes_87184 說道:

    新符號真的比較能夠切合主題耶,傳統這種,如果一年沒碰,我在寫的時候一定會遲疑一下到底是b到r還是r到b,新的一目了然,然後也解決了想了一段時間的問題,謝謝。

    阿,還有,對於雙對偶空間我的想法是這樣的,雙對偶空間中的元素也有長這樣的,Φv(f)=f(v)。
    V**=L(V*,F),所以是把屬於V*的 f (是一個V→F的函數)帶進去,然後要得到一個純量的東東,大概吧。 QQ

    然後老師說的矩陣的例子有什麼?謝謝

  2. Watt Lin 說道:

    請問老師:複變函數,由 z 映至 f(z),能否採用線性變換表示?
    或者,僅有少數函數可以? (存在某個矩陣 T 去變換)
    或是採取某種方法處理,把眾多複變函數表達為線性變換?
    (我是外行人,複變、線代皆未正式選課,僅是自學,若問得不好,請見諒!)

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