每週問題 May 20, 2013

在甚麼條件下,正交投影矩陣 (即實對稱冪等矩陣) 之和也是投影矩陣?

Let P_1,\ldots,P_k be real symmetric and idempotent, i.e., P_i=P_i^T=P_i^2 for all i. Show that P=P_1+\cdots+P_k is an idempotent matrix if and only if P_iP_j=0 for i\neq j.

 
參考解答:

P_iP_j=0,其中 i\neq j,則

P^2=(P_1+\cdots+P_k)^2=P_1^2+\cdots+P_k^2=P_1+\cdots+P_k=P

證明 P 是一冪等 (idempotent) 矩陣。考慮另一個方向的命題,設 P=P_1+\cdots+P_k 是一冪等矩陣,已知條件表明 P 也是對稱矩陣。若 \mathbf{x}=P_j\mathbf{x},其中 \mathbf{x} 是一非零向量,則

\begin{aligned}  \Vert\mathbf{x}\Vert^2&=\Vert P_j\mathbf{x}\Vert^2\le \Vert P_1\mathbf{x}\Vert^2+\cdots+\Vert P_k\mathbf{x}\Vert^2\\  &=\mathbf{x}^TP_1^TP_1\mathbf{x}+\cdots+\mathbf{x}^TP_k^TP_k\mathbf{x}\\  &=\mathbf{x}^TP_1\mathbf{x}+\cdots+\mathbf{x}^TP_k\mathbf{x}\\  &=\mathbf{x}^TP\mathbf{x}=\mathbf{x}^TP^TP\mathbf{x}=\Vert P\mathbf{x}\Vert^2\le\Vert\mathbf{x}\Vert^2,  \end{aligned}

最後一個不等式係因 P\mathbf{x}\mathbf{x}P 的行空間 (值域) 的投影。所以,\Vert P_j\mathbf{x}\Vert^2=\Vert P_1\mathbf{x}\Vert^2+\cdots+\Vert P_k\mathbf{x}\Vert^2。這說明,對於 i\neq j\mathbf{0}=P_i\mathbf{x}=P_iP_j\mathbf{x},因此證明 P_iP_j=0

PowSol-May-20-13

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2 則回應給 每週問題 May 20, 2013

  1. Sophia2457 說:

    老師這裡我想請教一個類似的問題:正交投影矩陣P,若Q=2P-I 那Q仍然算是正交投影矩陣嗎?

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