答JERRY──關於相似變換矩陣的解法

網友JERRY留言:

已知 AB 是二階方陣,怎麼找 P 使得 B=P^{-1}AP

 
答曰:

我們先舉一些例子看會發生何種情況。若 A=B=I,其中 I=\begin{bmatrix}  1&0\\  0&1  \end{bmatrix} 是單位矩陣,則任一可逆矩陣 P 皆為解,因為 P^{-1}IP=P^{-1}P=I。若 A=B,則所有非零純量矩陣 P=cIc\neq 0,皆滿足要求,因為 (cI)^{-1}A(cI)=c^{-1}c(I^{-1}AI)=A=B。如果 P 使得 B=P^{-1}AP,則對於任何 c\neq 0,都有 (cP)^{-1}A(cP)=c^{-1}c(P^{-1}AP)=P^{-1}AP=B。換句話說,當 B=P^{-1}AP 是一致時 (即存在解),必有無窮多組解。另一方面,B=P^{-1}AP 是否可能無解?是的。例如,A=IB\neq I,則 P^{-1}AP=P^{-1}IP=P^{-1}P=I\neq B。針對任意二階方陣 AB,下面介紹兩種 B=P^{-1}AP 的解法:線性方程與對角化。

 
線性方程

給定 B=P^{-1}AP,左乘 P,可得等價方程式 PB=AP。令 P=\begin{bmatrix}  a&b\\  c&d  \end{bmatrix}。上式可表示為包含四個未知數 a, b, c, d 的線性聯立方程組,解出該方程組即得 P。我用一個例子解釋計算程序。考慮

\displaystyle  A=\begin{bmatrix}  1&2\\  0&3  \end{bmatrix},~~B=\left[\!\!\begin{array}{rr}  5&-2\\  4&-1  \end{array}\!\!\right]

代入上述方程式等號兩邊,乘開可得,

\displaystyle  PB=\begin{bmatrix}  5a+4b&-2a-b\\  5c+4d&-2c-d  \end{bmatrix},~~AP=\begin{bmatrix}  a+2c&b+2d\\  3c&3d  \end{bmatrix}

上面兩矩陣相等,即有

\displaystyle\begin{aligned}  4a+4b-2c&=0\\  -2a-2b-2d&=0\\  2c+4d&=0\\  -2c-4d&=0,  \end{aligned}

或以矩陣形式表示為

\displaystyle  \left[\!\!\begin{array}{rrrr}  4&4&-2&0\\  -2&-2&0&-2\\  0&0&2&4\\  0&0&-2&-4  \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix}  a\\  b\\  c\\  d  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  0\\  0\\  0\\  0  \end{bmatrix}

下一步要解出這個齊次方程式。使用高斯消去法化簡係數矩陣,過程如下:

\displaystyle  \left[\!\!\begin{array}{rrrr}  4&4&-2&0\\  -2&-2&0&-2\\  0&0&2&4\\  0&0&-2&-4  \end{array}\!\!\right]\to\left[\!\!\begin{array}{rrrr}  1&1&-1/2&0\\  0&0&-1&-2\\  0&0&2&4\\  0&0&-2&-4  \end{array}\!\!\right]\to\left[\!\!\begin{array}{rrrr}  1&1&0&1\\  0&0&1&2\\  0&0&0&0\\  0&0&0&0  \end{array}\!\!\right]

我們得到等價的齊次方程組:

\displaystyle\begin{aligned}  a+b+d&=0\\  c+2d&=0,  \end{aligned}

解出 a=-\alpha-\beta,~b=\alpha,~c=-2\beta,~d=\beta,其中 \alpha, \beta 是任意參數。所求矩陣即為

\displaystyle  P=\begin{bmatrix}  -\alpha-\beta&\alpha\\  -2\beta&\beta  \end{bmatrix}

P 必須是可逆矩陣,

\det P=\begin{vmatrix}  -\alpha-\beta&\alpha\\  -2\beta&\beta  \end{vmatrix}=(\alpha-\beta)\beta\neq 0

上式指出 \alpha\neq\beta\beta\neq 0,加入這兩個條件,所有符合所求的 P 都找齊了。

 
表面上,以線性方程解 B=P^{-1}AP 相當簡易,但不幸地,此法很難推廣至更高階矩陣。對於相同形式的三階矩陣問題,P 包含 3\times 3=9 個未知數,也就是說,我們要解 9\times 9 階係數矩陣描述的線性方程組!

 
對角化

數學家發現 B=P^{-1}AP 是一個重要的等式,滿足此式的 AB 具備許多相同的性質,我們說 A 相似於 B,聯繫兩者的 P 則稱為相似變換矩陣。相似是一種等價關係 (見“相似變換下的不變性質”),包含三個性質:(1) 反身性:A 相似於 A;(2) 對稱性:若 A 相似於 B,則 B 相似於 A;(3) 傳遞性:若 A 相似於 BB 相似於 C,則 A 相似於 C。如果我們在相似矩陣家族中挑出一個矩陣作為該家族的代表,並主張每一相似家族存在唯一的代表,則不同的相似家族有不同的代表。如此一來,藉由檢查 B 所屬的相似家族代表是否與 A 所屬的家族代表相同,即可判斷 B 是否相似於 A。對角化可以讓我們實現這個構想。對角化與矩陣的特徵值和特徵向量有關,詳細介紹請見“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”。

 
n\times n 階矩陣 AB 可對角化且 A 相似於 B 時,它們同屬於一相似家族,此家族的代表為一對角矩陣 \Lambda=\hbox{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n),其中 \{\lambda_i\} 是家族成員擁有的共同特徵值。所謂對角化是指存在可逆矩陣 ST 使得 \Lambda=S^{-1}AS\Lambda=T^{-1}BT。藉由家族代表 \Lambda 的媒介,T^{-1}BT=S^{-1}AS。上式左乘 S,右乘 T^{-1},可得 (ST^{-1})B=A(ST^{-1})。比較 PB=AP,即知 AB 之間的相似變換矩陣為 P=ST^{-1}。(相關討論見“如何檢查兩矩陣是否相似”。)

 
沿用前例說明計算過程。將二階矩陣 AB 分別對角化為 \Lambda=S^{-1}AS\Lambda=T^{-1}BT,結果如下:

\displaystyle  \Lambda=\begin{bmatrix}  1&0\\  0&3  \end{bmatrix},~S=\begin{bmatrix}  1&1\\  0&1  \end{bmatrix},~S^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{cr}  1&-1\\  0&1  \end{array}\!\!\right],~T=\begin{bmatrix}  1&1\\  2&1  \end{bmatrix},~T^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{rr}  -1&1\\  2&-1  \end{array}\!\!\right]

請注意,ST 並不是唯一的。實際上,ST 的每行可以乘以任何非零數 (S^{-1}T^{-1} 也隨之改變)。設 S=\begin{bmatrix}  \gamma&\delta\\  0&\delta  \end{bmatrix},則有

\displaystyle  P=ST^{-1}=\begin{bmatrix}  \gamma&\delta\\  0&\delta  \end{bmatrix}\left[\!\!\begin{array}{rr}  -1&1\\  2&-1  \end{array}\!\!\right]=\begin{bmatrix}  -\gamma+2\delta&\gamma-\delta\\  2\delta&-\delta  \end{bmatrix}

將此 P 矩陣與線性方程所得的 P 相比較,\gamma=\alpha-\beta\delta=-\beta,可知兩矩陣的表達雖然不同,但它們描述相同的矩陣集合。

 
最後還有一個問題要釐清。當 AB 不可對角化時,那又如何?在此情況下,AB 同屬一個相似家族,惟其代表不是對角矩陣,但型態近似,我們稱之為 Jordan 形式。這是線性代數的進階課題,有興趣進一步瞭解的讀者請參閱“Jordan 典型形式專題”。

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