圓錐曲線

本文的閱讀等級：初級

任意二元二次方程式可表示為

$\displaystyle ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$ ，

其中 $a,b,c,d,e,f$ 是實數且 $a,b,c$ 不全為零 (否則二次方程退化為一次方程)。在卡氏座標系統中，二元二次方程的軌跡稱為圓錐曲線^[1](conic section，也稱二次曲線)。本文介紹如何通過旋轉與平移，將任一圓錐曲線化簡至典型表達式。圓錐曲線共可區分為9種類別，根據典型表達式的推演結果，我們設計一組建立於行列式的判別式 (discriminant)。

二元二次方程式可用矩陣表示如下：

$\displaystyle \begin{bmatrix} x&y \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a&\frac{b}{2}\\[0.5em] \frac{b}{2}&c \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} d&e \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}+f=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}+\mathbf{b}^T\mathbf{x}+f=0$ ，

其中

$A=\begin{bmatrix} a&\frac{b}{2}\\[0.5em] \frac{b}{2}&c \end{bmatrix},~~\mathbf{b}=\begin{bmatrix} d\\ e \end{bmatrix},~~\mathbf{x}=\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$ 。

因為 $A$ 是實對稱矩陣，故可正交對角化為 $A=Q\Lambda Q^T$ ，其中 $\Lambda=\hbox{diag}(\lambda_1,\lambda_2)$ ， $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 是 $A$ 的實特徵值， $Q=\begin{bmatrix} \mathbf{q}_1&\mathbf{q}_2 \end{bmatrix}$ 是由 $A$ 的特徵向量 $\mathbf{q}_1$ 和 $\mathbf{q}_2$ 構成的正交矩陣，即 $Q^TQ=QQ^T=I$ (見“實對稱矩陣可正交對角化的證明”)。二階正交矩陣僅有下列兩種形式：

$R(\theta)=\displaystyle \left[\!\!\begin{array}{cr} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{array}\!\!\right],~~P(\theta)=\left[\!\!\begin{array}{cr} \cos\theta&\sin\theta\\ \sin\theta&-\cos\theta \end{array}\!\!\right]$ ，

其中 $\theta\in\mathbb{R}$ 。前者 $R(\theta)$ 表示逆時針旋轉 $\theta$ 角，後者 $P(\theta)$ 表示先對 X 軸鏡射 (反射)，變換矩陣為 $\left[\!\!\begin{array}{cr} 1&0\\ 0&-1 \end{array}\!\!\right]$ ，然後再逆時針旋轉 $\theta$ 角。明顯地， $\det R(\theta)=1$ 且 $\det P(\theta)=-1$ 。習慣上，我們設定 $Q$ 為旋轉矩陣 $R(-\theta)$ ，則 $\mathbf{q}_1=(\cos\theta,-\sin\theta)^T$ 且 $\mathbf{q}_2=(\sin\theta,\cos\theta)^T$ 。

下面說明如何正交對角化 $A$ 。寫出特徵多項式

$\displaystyle p(t)=\det(A-tI)=\begin{vmatrix} a-t&\frac{b}{2}\\[0.5em] \frac{b}{2}&c-t \end{vmatrix}=t^2-(a+c)t+ac-\frac{b^2}{4}$ 。

解出兩個實根，

$\displaystyle \lambda_1=\frac{a+c+\sqrt{(a-c)^2+b^2}}{2},~~\lambda_2=\frac{a+c-\sqrt{(a-c)^2+b^2}}{2}$ 。

對於 $\lambda_1$ ，特徵向量 $\mathbf{q}_1$ 使得 $(A-\lambda_1I)\mathbf{q}_1=\mathbf{0}$ ，即

$\displaystyle \frac{1}{2}\begin{bmatrix} a-c-\sqrt{(a-c)^2+b^2}&b\\ b&c-a-\sqrt{(a-c)^2+b^2} \end{bmatrix}\left[\!\!\begin{array}{r} \cos\theta\\ -\sin\theta \end{array}\!\!\right]=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}$ ，

由此可得

$\displaystyle \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{a-c-\sqrt{(a-c)^2+b^2}}{b}$ 。

如欲將此公式簡化，使用倍角公式

$\displaystyle \tan 2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$ ，

計算得到 $\tan 2\theta=b/(c-a)$ ，故

$\displaystyle \theta=\frac{1}{2}\arctan\frac{b}{c-a}$ 。

設 $Q=R(-\theta)$ 。將 $A=Q\Lambda Q^T$ 代入矩陣表達式的二次型，

$\displaystyle \mathbf{x}^TA\mathbf{x}=\mathbf{x}^TQ\Lambda Q^T\mathbf{x}=(Q^T\mathbf{x})^T\Lambda(Q^T\mathbf{x})$ 。

令 $\mathbf{x}'=Q^T\mathbf{x}$ 。因為 $Q^T=R(\theta)$ ， $\mathbf{x}'$ 可以解釋為 $\mathbf{x}$ 經過旋轉 $R(\theta)$ 的向量，也可以說是 $\mathbf{x}$ 參考新基底 $\{(\cos\theta,-\sin\theta)^T,(\sin\theta,\cos\theta)^T\}$ 的座標向量。透過變數變換， $\mathbf{x}=Q\mathbf{x}'$ ，等價的圓錐曲線矩陣表達式為

$\displaystyle \mathbf{x}'^T\Lambda\mathbf{x}'+\mathbf{b}^TQ\mathbf{x}'+f=0$ 。

令 $(\alpha,\beta)=\mathbf{b}^TQ$ 。乘開上式，即有

$\displaystyle \lambda_1x'^2+\lambda_2y'^2+\alpha x'+\beta y'+f=0$ 。

更進一步，如欲移除線性項，運用配方法，

$\displaystyle \displaystyle\begin{aligned} &\lambda_1x'^2+\lambda_2y'^2+\alpha x'+\beta y'+f\\ &=\lambda_1\left(x'+\frac{\alpha}{2\lambda_1}\right)^2+\lambda_2\left(y'+\frac{\beta}{2\lambda_2}\right)^2-\frac{\alpha^2}{4\lambda_1}-\frac{\beta^2}{4\lambda_2}+f=0.\end{aligned}$

若 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 皆不為零，即 $\Lambda$ 可逆，則平移量 $\mathbf{p}=(\alpha/(2\lambda_1),\beta/(2\lambda_2))^T$ 可使圖形中心位於原點。令 $\mathbf{x}''=\mathbf{x}'+\mathbf{p}$ 表示 $\mathbf{x}'$ 經過平移 $\mathbf{p}$ 後的向量。平移後的圓錐曲線具有最簡形式：

$\displaystyle \lambda_1x''^2+\lambda_2y''^2+f'=0$ ，

其中 $f'=f-\alpha^2/(4\lambda_1)-\beta^2/(4\lambda_2)$ 。若 $\lambda_1=\lambda_2=0$ ，則 $a=b=c=0$ ，圓錐曲線退化為一條直線。若 $\lambda_1\neq 0$ ， $\lambda_2=0$ ，這時圓錐曲線的幾何中心不存在，但仍可藉由平移 $\mathbf{p}=(\alpha/(2\lambda_1),0)^T$ 得到

$\displaystyle \lambda_1x''^2+\beta y''-\frac{\alpha^2}{4\lambda_1}+f=0$ 。

從圓錐曲線典型表達式的推演過程，我們知道圓錐曲線的類別完全由對稱矩陣 $A$ 的特徵值 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 決定，分述於下：

(1) 若 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 不為零且同號，則圓錐曲線為

橢圓，若 $f'$ 與 $\lambda_i$ 異號；
虛橢圓，若 $f'$ 與 $\lambda_i$ 同號；
點，若 $f'=0$ 。

(2) 若 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 不為零且異號，則圓錐曲線為

雙曲線，若 $f'\neq 0$ ；
兩相交直線，若 $f'=0$ 。

(3) 若 $\lambda_1\neq 0$ 和 $\lambda_2=0$ (如果相反，對調 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 即可)，則圓錐曲線為

拋物線，若 $\beta\neq 0$ ；
兩平行直線，若 $\beta=0$ 且 $f'$ 與 $\lambda_1$ 異號；
兩虛平行直線，若 $\beta=0$ 且 $f'$ 與 $\lambda_1$ 同號；
兩重合直線，若 $f'=0$ 。

我們想設計一套簡易的圓錐曲線判別法則。將二元二次方程式寫為

$\displaystyle \begin{bmatrix} x&y&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a&\frac{b}{2}&\frac{d}{2}\\[0.3em] \frac{b}{2}&c&\frac{e}{2}\\[0.3em] \frac{d}{2}&\frac{e}{2}&f \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{x}^T&1 \end{bmatrix}M\begin{bmatrix} \mathbf{x}\\ 1 \end{bmatrix}=0$ ，

其中 $3\times 3$ 階矩陣

$M=\begin{bmatrix} a&\frac{b}{2}&\frac{d}{2}\\[0.3em] \frac{b}{2}&c&\frac{e}{2}\\[0.3em] \frac{d}{2}&\frac{e}{2}&f \end{bmatrix}$

完全決定圓錐曲線，稱為圓錐曲線矩陣。因為 $(x,y,1)$ 稱為齊次座標，上式也叫做齊次表達式。第一次所執行的變數變換可用齊次旋轉矩陣表示為

$\displaystyle \begin{bmatrix} x\\ y\\ 1 \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{rrr} \cos\theta&\sin\theta&0\\ -\sin\theta&\cos\theta&0\\ 0&0&1 \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} x'\\ y'\\ 1 \end{bmatrix}$ 。

第二次執行的變數變換可用齊次平移矩陣表示為

$\displaystyle \begin{bmatrix} x'\\ y'\\ 1 \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{ccc} 1&0&-\frac{\alpha}{2\lambda_1}\\[0.5em] 0&1&-\frac{\beta}{2\lambda_2}\\ 0&0&1 \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} x''\\ y''\\ 1 \end{bmatrix}$ 。

如果 $\lambda_2=0$ ，上式則為

$\displaystyle \begin{bmatrix} x'\\ y'\\ 1 \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{ccc} 1&0&-\frac{\alpha}{2\lambda_1}\\[0.3em] 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} x''\\ y''\\ 1 \end{bmatrix}$ 。

每次經變數變換，圓錐曲線矩陣便隨之改變，如下所示：

$M\to H^TMH$ ，

其中 $H$ 是上面任一齊次變換矩陣。值得注意的是，這些齊次變換矩陣都是可逆的，也就是說，所有的改變皆可回復。所以，圓錐曲線矩陣 $M$ 的矩陣秩 $\hbox{rank}M$ 具有不變性。此外，不論齊次旋轉 (含鏡射) 矩陣或平移矩陣皆滿足 $\det H=\pm 1$ ，即有 $\det(H^TMH)=(\det H^T)(\det M)(\det H)=(\det M)(\det H)^2=\det M$ ，可知圓錐曲線矩陣的行列式也有不變性。

(1) 若 $\lambda_1\neq 0$ 且 $\lambda_2\neq 0$ ，最終我們得到圓錐曲線矩陣

$M_1=\begin{bmatrix} \lambda_1&0&0\\ 0&\lambda_2&0\\ 0&0&f' \end{bmatrix}$ 。

若 $f'\neq 0$ ，則 $\hbox{rank}M_1=3$ ，根據前述分類，圓錐曲線為實橢圓、虛橢圓，或雙曲線。若 $f'=0$ ，則 $\hbox{rank}M_1=2$ ，圓錐曲線為一點或兩相交直線。

(2) 若 $\lambda_1\neq 0$ 且 $\lambda_2=0$ ，我們得到圓錐曲線矩陣

$M_2=\begin{bmatrix} \lambda_1&0&0\\ 0&0&\frac{\beta}{2}\\[0.3em] 0&\frac{\beta}{2}&f' \end{bmatrix}$ 。

若 $\beta\neq 0$ ， $\hbox{rank}M_2=3$ ，圓錐曲線是拋物線。若 $\beta=0$ ， $\hbox{rank}M_2=1$ 或 $2$ ，由 $f'$ 是否為零決定。若 $\hbox{rank}M_2=1$ ，圖形是兩重合直線；若 $\hbox{rank}M_2=2$ ，圖形則是兩平行直線或兩虛平行直線。

我們總結本文的分析。定義判別式

$\Delta=\det M=\begin{vmatrix} a&\frac{b}{2}&\frac{d}{2}\\[0.5em] \frac{b}{2}&c&\frac{e}{2}\\[0.5em] \frac{d}{2}&\frac{e}{2}&f \end{vmatrix},~~\delta=\det A=\begin{vmatrix} a&\frac{b}{2}\\[0.3em] \frac{b}{2}&c \end{vmatrix}$ ，

其中 $\delta=\lambda_1\lambda_2$ ，因為行列式等於特徵值的積， $a+c=\lambda_1+\lambda_2$ ，因為跡數 (trace) 等於特徵值的和。以下判別規則的細部留給讀者自行推導。

若 $\Delta\neq 0$ ，即 $\hbox{rank}M=3$ ，圓錐曲線未發生退化。

若 $\delta>0$ ，圖形為實橢圓，若 $(a+c)\Delta< 0$ ，否則為虛橢圓。
若 $\delta<0$ ，圖形為雙曲線。
若 $\delta=0$ ，圖形為拋物線。

若 $\Delta=0$ ，即 $\hbox{rank}M<3$ ，圓錐曲線退化為點或直線。

若 $\delta>0$ ，圖形為一點。
若 $\delta<0$ ，圖形為兩相交直線。
若 $\delta=0$ ，圖形為兩平行直線，若 $d^2+e^2>4(a+c)f$ ；兩虛平行直線，若 $d^2+e^2<4(a+c)f$ ；兩重合直線，若 $d^2+e^2=4(a+c)f$ 。

最後補充一個例子^[2]：

$5x^2-4xy+8y^2+4\sqrt{5}x-16\sqrt{5}y+4=0$ 。

寫出矩陣形式

$\begin{bmatrix} x&y \end{bmatrix}\left[\!\!\begin{array}{rr} 5&-2\\ -2&8 \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 4\sqrt{5}&-16\sqrt{5} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}+4=0$ ，

與圓錐曲線矩陣

$M=\left[\!\!\begin{array}{rrr} 5&-2&2\sqrt{5}\\ -2&8&-8\sqrt{5}\\ 2\sqrt{5}&-8\sqrt{5}&4 \end{array}\!\!\right]$ 。

計算判別式

$\Delta=\left|\!\!\begin{array}{rrr} 5&-2&2\sqrt{5}\\ -2&8&-8\sqrt{5}\\ 2\sqrt{5}&-8\sqrt{5}&4 \end{array}\!\!\right|=-12960$ 。

因為 $(5+8)\Delta<0$ ，故知圓錐曲線為一橢圓。以下是典型表達式的化簡過程。令 $A=\left[\!\!\begin{array}{rr} 5&-2\\ -2&8 \end{array}\!\!\right]$ 且 $\mathbf{b}=(4\sqrt{5},-16\sqrt{5})^T$ 。

(1) 將 $A$ 正交對角化為 $A=Q\Lambda Q^T$ ，結果如下：

$\displaystyle Q=\left[\!\!\begin{array}{cr} \frac{2}{\sqrt{5}}&-\frac{1}{\sqrt{5}}\\[0.5em] \frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{2}{\sqrt{5}} \end{array}\!\!\right],~~\Lambda=\begin{bmatrix} 4&0\\ 0&9 \end{bmatrix}$ 。

計算 $\displaystyle (\alpha,\beta)=\mathbf{b}^TQ=(-8,-36)$ 。

(2) 寫出以新變數 $x'$ 和 $y'$ 表達的圓錐曲線：

$4x'^2+9y'^2-8x'-36y'+4=0$ 。

(3) 使用配方法，將上式改寫成

$\displaystyle 4(x'-1)^2+9(y'-2)^2=36$ 。

令 $x''=x'-1$ ， $y''=y'-2$ 。最後得到標準化的橢圓：

$\displaystyle \frac{x''^2}{9}+\frac{y''^2}{4}=1$ 。

參考來源：
[1] 有關圓錐曲線的類型與幾何性質，詳見維基百科：圓錐曲線。
[2] 取自 Howard Anton 與 Chris Rorres 所著 Elementary Linear Algebra，第8版，2000，頁461-462。

11 Responses to 圓錐曲線

路過 says:

05/17/2015 at 11:06 am

“將 A=Q\Lambda Q^T 代入矩陣表達式的二次型”，這句下面的式子的X是不是多打了一個T?

- ccjou says:
  
  05/17/2015 at 12:33 pm
  
  謝謝指正，已修訂。
  
DavidGuo says:

05/20/2015 at 10:58 pm

「下面說明如何正交對角化$A$。寫出特徵多項式」的下一行，
「t^2-(a+c)」後面少了個「t」

- ccjou says:
  
  05/21/2015 at 7:40 am
  
  謝謝，已訂正。
  
DavidGuo says:

05/21/2015 at 8:53 am

1. 請問，如上面提到的位置，$t$解出來若是重根的話，後面的Q的column就必需經過gram-schmit處理過。那接下來的所有的推導是否都還成立？
2. 最後的例子前幾行，「若$\delta>0$，圖形為實橢圓，若 $c\Delta 0$」少了個「<」。

- ccjou says:
  
  05/21/2015 at 10:41 am
  
  1. 若發生重根，推導程序不變，因為 $A$ 是二階實對稱，二個特徵向量必然正交。一旦找到 $\mathbf{q}_1$ ，立知 $\mathbf{q}_2$ ，故不需使用Gram-Schmidt 正交化。
  2. 不知怎麼會出現這個排版錯誤，已經訂正了，謝謝。
  
Simon Chang says:

11/27/2015 at 9:19 am

好謝謝

wonderlandtommy says:

09/16/2016 at 2:36 pm

請問同樣的方法可否用在二次曲面上?

- ccjou says:
  
  09/19/2016 at 12:31 pm
  
  可以的，或許維基百科能找到文獻。
  
- kaerfuka says:
  
  02/19/2017 at 7:16 pm
  
  之前整理过一篇笔记，请参考
  http://2395a07a.wiz01.com/share/s/0zBq1W10Ck2l2dEf6m2VVxCL3kZdmd3ZT47C2SmJer0sHwAe
  
  - ccjou says:
    
    02/19/2017 at 7:40 pm
    
    謝謝分享，週末愉快。

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