每週問題 May 27, 2013

證明冪等矩陣有相同的矩陣秩與跡數。

Let P be an n\times n idempotent matrix, i.e., P^2=P. Prove that \mathrm{rank}P=\mathrm{trace}P.

 
參考解答:

任一 n 維向量 \mathbf{x} 可表示成 \mathbf{x}=P\mathbf{x}+(\mathbf{x}-P\mathbf{x}),其中 P\mathbf{x}\in C(P)。因為 P\mathbf{x}=P^2\mathbf{x},即 P(\mathbf{x}-P\mathbf{x})=\mathbf{0},可知 \mathbf{x}-P\mathbf{x}\in N(P)。若 \mathbf{x}\in C(P)\cap N(P),則 \mathbf{x}=P\mathbf{y}P\mathbf{x}=\mathbf{0}。合併可得

\mathbf{0}=P\mathbf{x}=P^2\mathbf{y}=P\mathbf{y}=\mathbf{x}

推論 C(P)N(P) 不交集,即有 \mathbb{C}^n=C(P)\oplus N(P)。注意,C(P) 是特徵值 1 的特徵空間,N(P) 是特徵值 0 的特徵空間。所以,存在一可逆矩陣 S=\begin{bmatrix}  \mathbf{v}_1&\ldots&\mathbf{v}_n  \end{bmatrix},其中 \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_r\in C(P)\mathbf{v}_{r+1},\ldots,\mathbf{v}_n\in N(P),使得 P 可對角化為 S^{-1}PS=\mathrm{diag}(1,\ldots,1,0,\ldots,0),其中主對角元 1 共有 r 個。因為相似變換不改變矩陣秩與跡數,證得 \mathrm{rank}A=\mathrm{trace}A=r

PowSol-May-27-13

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