每週問題 June 3, 2013

這是一特殊矩陣的特徵值計算問題。

Let A be an n\times n matrix and let B=\begin{bmatrix}  0&A\\  A^\ast&0  \end{bmatrix}. Find the eigenvalues of B.

 
參考解答:

\lambdaB 的特徵值,\begin{bmatrix}  \mathbf{x}\\  \mathbf{y}  \end{bmatrix} 是對應的特徵向量,其中 \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{C}^n。特徵方程即為

\begin{bmatrix}  0&A\\  A^\ast&0  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  \mathbf{x}\\  \mathbf{y}  \end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix}  \mathbf{x}\\  \mathbf{y}  \end{bmatrix}

將上式展開,可得

\begin{aligned}  A\mathbf{y}&=\lambda\mathbf{x}\\  A^\ast\mathbf{x}&=\lambda\mathbf{y}.  \end{aligned}

第一式左乘 A^\ast,使用第二式,即有

A^\ast A\mathbf{y}=\lambda A^\ast\mathbf{x}=\lambda^2\mathbf{y}

所以 \lambda^2A^\ast A 的特徵值。令 A 的奇異值為 \sigma_1,\ldots,\sigma_n。根據奇異值定義,\sigma_1^2,\ldots,\sigma_n^2A^\ast A 的特徵值,由此得知 B 的特徵值為 \pm\sigma_1,\ldots,\pm\sigma_n

PowSol-June-3-13

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