等距同構與么正矩陣

本文的閱讀等級:中級

考慮定義於 \mathbb{C}^n 的線性變換,以 n\times n 階變換矩陣 A 表示。哪些線性變換保留兩個向量之間的距離?精確地說,對於任意 n 維向量 \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{C}^n,我們想知道 A 必須具備甚麼條件方使得

\displaystyle  \Vert A\mathbf{x}-A\mathbf{y}\Vert=\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert

滿足上述關係的線性變換稱為等距同構 (isometry)、正交變換 (orthogonal transformation) 或保距映射 (distance preserving)。相同的問題形式可以放在複數系來討論:哪些複數 z 使得 \vert zx-zy\vert=\vert x-y\vert,其中 x,y\in\mathbb{C}?明顯地,z 必須滿足 \vert z\vert^2=1,或 \bar{z}=1/z。共軛複數 \bar{z} 類比共軛轉置 A^\ast,倒數 1/z 類比逆矩陣 A^{-1} (見“矩陣與複數的類比”),則 \bar{z}=1/z 可類比 A^\ast=A^{-1},稱之為么正矩陣 (unitary matrix,或酉矩陣,見“特殊矩陣 (3):么正矩陣 (酉矩陣)”)。如果 A 是一實矩陣,則 A^T=A^{-1},稱為正交矩陣 (orthogonal matrix)。下面證明等距同構與么正矩陣是等價的概念。

 
U 是一 n\times n 階矩陣。下列是等價的陳述:

  1. U^\ast U=UU^\ast=I
  2. 對於任意 n 維向量 \mathbf{x}\mathbf{y}

    (U\mathbf{x})^\ast(U\mathbf{y})=\mathbf{x}^\ast\mathbf{y}

  3. 對於任一 n 維向量 \mathbf{x}

    \Vert U\mathbf{x}\Vert=\Vert\mathbf{x}\Vert

  4. 對於任意 n 維向量 \mathbf{x}\mathbf{y}

    \Vert U\mathbf{x}-U\mathbf{y}\Vert=\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert

 
證明於下:
(1)\Rightarrow(2):若 U^\ast U=I,則對於任意 \mathbf{x}\mathbf{y}

\displaystyle  (U\mathbf{x})^\ast(U\mathbf{y})=\mathbf{x}^\ast U^\ast U\mathbf{y}=\mathbf{x}^\ast I\mathbf{y}=\mathbf{x}^\ast\mathbf{y}

(2)\Rightarrow(3):將 (2) 的 \mathbf{y}\mathbf{x} 取代,則有

\displaystyle  \Vert U\mathbf{x}\Vert^2=(U\mathbf{x})^\ast(U\mathbf{x})=\mathbf{x}^\ast\mathbf{x}=\Vert\mathbf{x}\Vert^2

(3)\Leftrightarrow(4):將 (3) 的 \mathbf{x}\mathbf{x}-\mathbf{y} 取代,即得證。反向取代可得相反論證。

(3)\Rightarrow(1):假設 (U\mathbf{x})^\ast(U\mathbf{x})=\mathbf{x}^\ast\mathbf{x},改寫為 \mathbf{x}^\ast(U^\ast U-I)\mathbf{x}=0。上式表明 U^\ast U-I 是 Hermitian 半正定矩陣,可知存在一 n\times n 階矩陣 B 使得 \hbox{rank}B=\hbox{rank}(U^\ast U-I)U^\ast U-I=B^\ast B (見“半正定矩陣的判別方法”)。所以,

0=\mathbf{x}^\ast(U^\ast U-I)\mathbf{x}=\mathbf{x}^\ast B^\ast B\mathbf{x}=\Vert B\mathbf{x}\Vert^2

\mathbf{x} 是任一向量,故可推論 B=0,證得 U^\ast U=I

 
以上結果顯示等距同構同義於么正矩陣或正交矩陣,差別在於所處的內積空間是複數或實數,因此么正矩陣或正交矩陣也稱為等距同構矩陣。么正矩陣 (或正交矩陣) U 是可逆矩陣,U^\ast=U^{-1},且 U^{-1} 也是么正矩陣,(U^{-1})^\ast U^{-1}=(U^\ast)^\ast U^\ast=UU^\ast=I,這解釋了為何我們在「等距」後面加上「同構 (映射)」(isomorphism)。

 
等距同構在矩陣結構分析扮演非常重要的角色,許多矩陣分解都與等距同構有關:

  • Schur 分解 (或稱矩陣三角化):任一 n\times n 階矩陣 A 可分解為 A=UTU^\ast,其中 U 是么正矩陣,T 是上三角矩陣 (見“矩陣三角化的 Schur 定理”)。
  • QR 分解:任一 m\times n 階矩陣 A 可分解為 A=QR,其中 Qm\times m 階么正矩陣,Rm\times n 階上三角矩陣 (見“QR 分解的數值計算方法比較”)。
  • 正交譜分解 (或稱正交對角化):任一 n\times n 階正規矩陣 (normal matrix) 可分解為 A=UDU^\ast,其中 U 是么正矩陣,D 是對角矩陣 (見“特殊矩陣 (2):正規矩陣”)。
  • 奇異值分解:任一 m\times n 階矩陣 A 可分解為 A=U\Sigma V^\ast,其中 Um\times m 階么正矩陣,Vn\times n 階么正矩陣,\Sigmam\times n 階對角矩陣 (見“線性變換觀點下的奇異值分解”)。
  • 極分解:任一 n\times n 階矩陣 A 可分解為 A=US,其中 U 是么正矩陣,S 是 Hermitian 半正定矩陣 (見“極分解”)。
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