## 分塊矩陣的行列式

$\displaystyle \begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc$

$\displaystyle \det A=\sum_{p}\sigma(p)a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$

$\displaystyle (2,4,1,3)\to(1,4,2,3)\to(1,2,4,3)\to(1,2,3,4)$

$p=(2,4,1,3)$ 經過三次換位得到自然排序，可知 $\sigma(p)=-1$。本文介紹一些常見的分塊矩陣的行列式公式，並使用排列公式、行列式基本性質，以及分塊矩陣乘法運算推導證明。

$\displaystyle \begin{vmatrix} A&B\\ 0&D \end{vmatrix}=(\det A)(\det D)$

$\displaystyle \det M=\sum_p\sigma(p)m_{1j_1}\cdots m_{rj_r}m_{r+1,j_{r+1}}\cdots m_{nj_n}$

$\displaystyle m_{r+1,j_{r+1}}\cdots m_{nj_n}=\left\{\begin{array}{ll} 1&\hbox{if~}p=(j_1,\ldots,j_r,r+1,\ldots,n)\\ 0&\hbox{otherwise}.\end{array}\right.$

$\tilde{p}=(j_1,\ldots,j_r,r+1,\ldots,n)$$p_r=(j_1,\ldots,j_r)$。所以，

\displaystyle\begin{aligned} \det M&=\sum_{\tilde{p}}\sigma(\tilde{p})m_{1j_1}\cdots m_{rj_r}m_{r+1,j_{r+1}}\cdots m_{nj_n}\\ &=\sum_{p_r}\sigma(p_r)m_{1j_1}\cdots m_{rj_r}\\ &=\det A,\end{aligned}

$\begin{vmatrix} A&0\\ 0&I \end{vmatrix}=\det A$。同樣道理，$\begin{vmatrix} I&0\\ 0&D \end{vmatrix}=\det D$。對於一般的分塊對角矩陣，

$\displaystyle \begin{bmatrix} A&0\\ 0&D \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A&0\\ 0&I \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I&0\\ 0&D \end{bmatrix}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} A&0\\ 0&D \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A&0\\ 0&I \end{vmatrix}\begin{vmatrix} I&0\\ 0&D \end{vmatrix}=(\det A)(\det D)$

$\displaystyle \begin{bmatrix} A&B\\ 0&D \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} Q_A&0\\ 0&Q_D \end{bmatrix}\begin{bmatrix} R_A&Q_A^TB\\ 0&R_D \end{bmatrix}$

\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} A&B\\ 0&D \end{vmatrix}&=\begin{vmatrix} Q_A&0\\ 0&Q_D \end{vmatrix}\begin{vmatrix} R_A&Q_A^TB\\ 0&R_D \end{vmatrix}\\ &=(\det Q_A)(\det Q_D)(\det R_A)(\det R_D)\\ &=\det(Q_AR_A)\det(Q_DR_D)\\ &=(\det A)(\det D). \end{aligned}

$\displaystyle\begin{vmatrix} A&B\\ C&D \end{vmatrix}=(\det A)(\det (D-CA^{-1}B))$

$D$ 可逆，則

$\displaystyle\begin{vmatrix} A&B\\ C&D \end{vmatrix}=(\det D)(\det (A-BD^{-1}C))$

$\displaystyle \begin{bmatrix} A&B\\ C&D \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I&0\\ CA^{-1}&I \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A&B\\ 0&D-CA^{-1}B \end{bmatrix}$

\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} A&B\\ C&D \end{vmatrix}&=\begin{vmatrix} I&0\\ CA^{-1}&I \end{vmatrix}\begin{vmatrix} A&B\\ 0&D-CA^{-1}B \end{vmatrix}\\ &=(\det I)(\det I)(\det A)(\det (D-CA^{-1}B))\\ &=(\det A)(\det(D-CA^{-1}B)).\end{aligned}

$\displaystyle\begin{vmatrix} A&B\\ C&D \end{vmatrix}=\det (AD-BC)$

$B=0$$C=0$，則 $BC=0$，使用公式一即得證。若 $A=0$，執行 $n$ 次列交換，

$\displaystyle \begin{vmatrix} 0&B\\ C&D \end{vmatrix}=(-1)^n\begin{vmatrix} C&D\\ 0&B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} C&D\\ 0&-B \end{vmatrix}=(\det C)(\det (-B))=\det(-BC)$

$D=0$，運用相同方法即可證明所求。

$\displaystyle\begin{vmatrix} A&B\\ C&D \end{vmatrix}=\det (AD-CB)$

$CD=DC$，則

$\displaystyle\begin{vmatrix} A&B\\ C&D \end{vmatrix}=\det (AD-BC)$

$BD=DB$，則

$\displaystyle\begin{vmatrix} A&B\\ C&D \end{vmatrix}=\det (DA-BC)$

$AB=BA$，則

$\displaystyle\begin{vmatrix} A&B\\ C&D \end{vmatrix}=\det (DA-CB)$

\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} A&B\\ C&D \end{vmatrix}&=(\det A)(\det (D-CA^{-1}B))\\ &=\det(AD-ACA^{-1}B)\\ &=\det(AD-CAA^{-1}B)\\ &=\det(AD-CB). \end{aligned}

$A$ 不可逆，我們利用連續論證法來證明。根據矩陣的特徵值性質，存在一正數 $\delta$ 使得對於 $0<\epsilon<\delta$$A+\epsilon I$ 是可逆矩陣 (見“連續論證法”)。因為 $(A+\epsilon I)C=C(A+\epsilon I)$，套用前面結果，

$\displaystyle \begin{vmatrix} A+\epsilon I&B\\ C&D \end{vmatrix}=\det((A+\epsilon I)D-CB)$

$\epsilon\to 0$，即證得所求。

\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} I&B\\ C&D \end{vmatrix}&=\det (D-CB)\\ \begin{vmatrix} A&I\\ C&D \end{vmatrix}&=\det (DA-C)\\ \begin{vmatrix} A&B\\ I&D \end{vmatrix}&=\det (AD-B)\\ \begin{vmatrix} A&B\\ C&I \end{vmatrix}&=\det (A-BC).\end{aligned}

$\displaystyle\begin{vmatrix} A&B\\ B&A \end{vmatrix}=\det (A+B)\det (A-B)$

$\displaystyle \begin{bmatrix} I&0\\ -I&I \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A&B\\ B&A \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I&0\\ I&I \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I&0\\ -I&I \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A+B&B\\ B+A&A \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A+B&B\\ 0&A-B \end{bmatrix}$

This entry was posted in 線性代數專欄, 行列式 and tagged , , . Bookmark the permalink.

### 2 則回應給 分塊矩陣的行列式

1. xddxy 說：

我觉得在公式一中考虑的那个特殊分块形态，因为右下角是单位矩阵，所以可以从最底下一行按行展开，只有Mnn是1，其他元素都是零，这样展开成低一阶的行列式，最底下一行还是只有最右边一个元素是1，其他都是0，继续展开，展到只剩Ar为止，这样很简明的看出|M|=|Ar|。

• ccjou 說：

使用餘因子公式 (或稱 Laplace 公式) 推理確實比排列公式更直覺。