每週問題 June 17, 2013

這是有關分塊矩陣行列式的等式證明。

Let

M=\begin{bmatrix}  A&B\\  C&D  \end{bmatrix}

be nonsingular and

M^{-1}=\begin{bmatrix}  W&X\\  Y&Z  \end{bmatrix},

where A, D, W, and Z are square matrices. Show that

\det A=(\det M)(\det Z)

and

\det D=(\det M)(\det W).

 
參考解答:

乘開

MM^{-1}=\begin{bmatrix}  A&B\\  C&D  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  W&X\\  Y&Z  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  I&0\\  0&I  \end{bmatrix}

比較等號兩邊,可得

\begin{aligned}  AW+BY&=I\\  CW+DY&=0\\  AX+BZ&=0\\  CX+DZ&=I.  \end{aligned}

設計下列分塊矩陣乘法,並使用上面等式,

\begin{aligned}  \begin{bmatrix}  A&B\\  C&D  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  W&0\\  Y&I  \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}  AW+BY&B\\  CW+DY&D  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  I&B\\  0&D  \end{bmatrix}\\  \begin{bmatrix}  A&B\\  C&D  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  I&X\\  0&Z  \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}  A&AX+BZ\\  C&CX+DZ  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  A&0\\  C&I  \end{bmatrix}.\end{aligned}

因為分塊三角矩陣的行列式等於主對角分塊行列式之積,等號兩邊取行列式即得證。

PowSol-June-17-13

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