線性微分方程的穩定性

本文的閱讀等級:中級

在許多物理、工程和經濟學問題,我們常關注動態系統在均衡狀態 (equilibrium state) 附近的行為。如果一系統受到小干擾後最終會返回均衡狀態,便稱此系統是漸近穩定 (asymptotically stable,以下簡稱穩定),否則稱為不穩定。設向量 \mathbf{x}(t)=(x_1(t),\ldots,x_n(t))^T 表示系統於時間 t 所處的狀態。對於一般動態系統,我們可以用線性微分方程

\displaystyle  \frac{d\mathbf{x}}{dt}=A\mathbf{x},~~~\mathbf{x}(0)=\mathbf{c}

近似描述系統在均衡狀態 \mathbf{x}=\mathbf{0} 附近的行為,其中 A 是一 n\times n 階常數矩陣,\mathbf{c} 是由擾動所決定的初始狀態。本文推導穩定線性系統的充分與必要條件,即當 t\to\infty,線性微分方程解 \mathbf{x}(t) 的所有元趨於零的條件。

 
上述線性微分方程的解為 \mathbf{x}=e^{At}\mathbf{c} (見“線性微分方程解的存在性與唯一性”),驗證於下:

\displaystyle\begin{aligned}  \frac{d\mathbf{x}}{dt}&=\frac{de^{At}\mathbf{c}}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{A^kt^k}{k!}\right)\mathbf{c}\\  &=A\sum_{k=1}^\infty\frac{A^{k-1}t^{k-1}}{(k-1)!}\mathbf{c}=Ae^{At}\mathbf{c}=A\mathbf{x}.\end{aligned}

t\to\infty,微分方程的解表明 \mathbf{x}(t)\to\mathbf{0} 同義於 e^{At}\to 0。令 \lambda_1,\ldots,\lambda_nA 的特徵值。線性微分方程的穩定條件,也就是 e^{At} 趨於零矩陣的條件為

\displaystyle   \hbox{Re}(\lambda_j)<0j=1,\ldots,n

這裡 \hbox{Re}(z) 表示抽取複數 z 的實部。以下分開兩種情況討論。設 A 可對角化為 A=S\Lambda S^{-1},其中 \Lambda=\hbox{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)S 的行向量由 A 的線性獨立特徵向量所構成。當 A 可對角化時,e^{At} 亦可對角化如下 (推導過程見“矩陣指數”):

\displaystyle  e^{At}=Se^{\Lambda t}S^{-1}=S\begin{bmatrix}  e^{\lambda_1t}&&\\  &\ddots&\\  &&e^{\lambda_nt}  \end{bmatrix}S^{-1}

矩陣指數 e^{At} 趨於零矩陣的充要條件為 e^{\Lambda t} 的所有主對角元 e^{\lambda_jt} 趨於零。令 \lambda_j=a_j+ib_jj=1,\ldots,n,其中 a_jb_j 是實數且 i=\sqrt{-1}。利用歐拉公式 e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,可知 \vert e^{i\theta}\vert=1,所以

\displaystyle  \vert e^{\lambda_jt}\vert=\vert e^{a_jt+ib_jt}\vert=\vert e^{a_jt}\vert\cdot\vert e^{ib_jt}\vert=\vert e^{a_jt}\vert

\hbox{Re}(\lambda_j)=a_j<0j=1,\ldots,n,則 \lim_{t\to\infty}e^{\lambda_jt}=0

 
接著考慮 A 不可對角化的情形。我們介紹兩種證明方式。第一個證法用 A 的 Jordan 典型形式推論出穩定條件。為方便說明,考慮 4\times 4 階矩陣 A 分解為 A=SJS^{-1},其中 Jordan 矩陣為

\displaystyle  J=\begin{bmatrix}  \lambda&1&0&0\\  0&\lambda&1&0\\  0&0&\lambda&1\\  0&0&0&\lambda  \end{bmatrix}

e^{At} 的表達式則為 (見“矩陣函數 (下)”,“利用 Jordan form 解差分方程與微分方程”)

e^{At}=Se^{Jt}S^{-1}=S\begin{bmatrix}  e^{\lambda t}&te^{\lambda t}&\frac{t^2}{2!}e^{\lambda t}&\frac{t^3}{3!}e^{\lambda t}\\[0.3em]  0&e^{\lambda t}&te^{\lambda t}&\frac{t^2}{2!}e^{\lambda t}\\[0.3em]  0&0&e^{\lambda t}&te^{\lambda t}\\[0.3em]  0&0&0&e^{\lambda t}  \end{bmatrix}S^{-1}

運用同樣的論述方式,e^{At} 趨於零矩陣的充要條件是 e^{Jt} 趨於零矩陣。若 \hbox{Re}(\lambda)<0,則 \lim_{t\to\infty}e^{\lambda t}=0。對於非主對角元,利用 l’Hôpital 法則,

\displaystyle\begin{aligned}  \lim_{t\to\infty}\frac{t^k/k!}{e^{-\lambda t}}&=\lim_{t\to\infty}\frac{t^{k-1}/(k-1)!}{-\lambda e^{-\lambda t}}=\lim_{t\to\infty}\frac{t^{k-2}/(k-2)!}{(-\lambda)^2 e^{-\lambda t}}=\cdots\\  &=\lim_{t\to\infty}\frac{1}{(-\lambda)^ke^{-\lambda t}}=0.\end{aligned}

 
第二個證法利用 Schur 定理將 A 三角化為 A=UTU^\ast,其中 T=[t_{ij}] 是上三角矩陣,主對角元 t_{ii} 即為 A 的特徵值,U 是么正矩陣 (unitary matrix),U^\ast=U^{-1} (見“矩陣三角化的 Schur 定理”)。將三角化表達式代入微分方程,{d\mathbf{x}}/{dt}=UTU^\ast\mathbf{x},左乘 U^\ast,可得 {dU^\ast\mathbf{x}}/{dt}=TU^\ast\mathbf{x}。令 \mathbf{y}=U^\ast\mathbf{x}。原微分方程等價於

\displaystyle  \frac{d\mathbf{y}}{dt}=T\mathbf{y},~~~\mathbf{y}(0)=\mathbf{c}'

或詳細表示如下:

\displaystyle\begin{array}{clrcrl}  \displaystyle\frac{dy_1}{dt}&=t_{11}y_1&+t_{12}y_2&+\cdots&+t_{1n}y_n,~~&y_1(0)=c_1'\\[0.8em]  \displaystyle\frac{dy_2}{dt}&= &t_{22}y_2&+\cdots&+t_{2n}y_n,~~&y_2(0)=c_2'\\[0.8em]  \vdots& & & \vdots& &\\[0.5em]  \displaystyle\frac{dy_n}{dt}&=& & &t_{nn}y_n,~~&y_n(0)=c_n'.  \end{array}

最後一個一階常微分方程的解為 y_n=c_n'e^{t_{nn}t}。若 \hbox{Re}(t_{nn})<0,則當 t\to\inftyy_n(t)\to 0。接下來我們運用歸納法證明當 t\to\infty,所有 y_i(t)\to 0。除最末式外,上面的微分方程都具有下列型態:

\displaystyle  \frac{du}{dt}=pu+v(t),~~~u(0)=q

其中 pq 是常數。因為

\displaystyle  \frac{d}{dt}(e^{-pt}u)=e^{-pt}\left(\frac{du}{dt}-pu\right)=e^{-pt}v

等號兩邊積分,

\displaystyle  e^{-pt}u=q+\int_0^te^{-ps}v(s)ds

再通乘 e^{pt},即導出微分方程解

\displaystyle  u(t)=e^{pt}q+e^{pt}\int_0^te^{-ps}v(s)ds

\hbox{Re}(p)<0,當 t\to\infty,由 v(t)\to 0 推得 u(t)\to 0。利用此結果,如果 \hbox{Re}(t_{ii})<0i=1,\ldots,n,從 y_n(t)\to 0 可連續推得 y_{n-1}(t)\to 0,\ldots,y_1(t)\to 0,故證明所求。

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