## 梯度、散度與旋度

$\displaystyle \mathbf{F}(x,y,z)=\begin{bmatrix} F_1(x,y,z)\\ F_2(x,y,z)\\ F_3(x,y,z) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -y\\ xy^2\\ x+z \end{bmatrix}$

$\displaystyle \mathbf{F}(x,y,z)=-y\mathbf{i}+xy^2\mathbf{j}+(x+z)\mathbf{k}$

$\displaystyle \nabla \equiv\begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial x}\\[0.3em] \frac{\partial }{\partial y}\\[0.3em] \frac{\partial }{\partial z} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} D_x\\ D_y\\ D_z \end{bmatrix}$

$\displaystyle \hbox{grad}\,f\equiv\begin{bmatrix} D_xf\\ D_yf\\ D_zf \end{bmatrix}=\nabla f$

$\displaystyle \hbox{div}\,\mathbf{F}\equiv\nabla\cdot\mathbf{F}=\begin{bmatrix} D_x\\ D_y\\ D_z \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} F_1\\ F_2\\ F_3 \end{bmatrix}=D_xF_1+D_yF_2+D_zF_3$

$\displaystyle \hbox{curl}\,\mathbf{F}\equiv\nabla\times\mathbf{F}=\begin{bmatrix} D_x\\ D_y\\ D_z \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} F_1\\ F_2\\ F_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} D_yF_3-D_zF_2\\ D_zF_1-D_xF_3\\ D_xF_2-D_yF_1 \end{bmatrix}$

$\displaystyle J=\begin{bmatrix} D_xF_1&D_yF_1&D_zF_1\\ D_xF_2&D_yF_2&D_zF_2\\ D_xF_3&D_yF_3&D_zF_3 \end{bmatrix}$

$\displaystyle K=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 0&D_yF_1-D_xF_2&D_zF_1-D_xF_3\\ D_xF_2-D_yF_1&0&D_zF_2-D_yF_3\\ D_xF_3-D_zF_1&D_yF_3-D_zF_2&0 \end{bmatrix}$

$\displaystyle K=\frac{1}{2}\left[\!\!\begin{array}{rrr} 0&-c&b\\ c&0&-a\\ -b&a&0 \end{array}\!\!\right]$

$\displaystyle \mathbf{b}\times\mathbf{c}=\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3 \end{vmatrix}=(b_2c_3-b_3c_2)\mathbf{i}+(b_3c_1-b_1c_3)\mathbf{j}+(b_1c_2-b_2c_1)\mathbf{k}$

$\displaystyle \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\begin{vmatrix} a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3 \end{vmatrix}=a_1(b_2c_3-b_3c_2)+a_2(b_3c_1-b_1c_3)+a_3(b_1c_2-b_2c_1)$

(1) 對於任一 $C^2$ 函數 $f$，梯度的旋度為零向量：

$\displaystyle \hbox{curl}\,(\hbox{grad}\,f)=\nabla\times(\nabla f)=\mathbf{0}$

\displaystyle\begin{aligned} \nabla\times(\nabla{f})&=\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ D_x&D_y&D_z\\ D_xf&D_yf&D_zf \end{vmatrix}\\ &=(D_yD_z-D_zD_y)f\mathbf{i}+(D_zD_x-D_xD_z)f\mathbf{j}+(D_xD_y-D_yD_x)f\mathbf{k} .\end{aligned}

(2) 對於任一 $C^2$ 向量場 $\mathbf{F}$，旋度的散度為零：

$\displaystyle \hbox{div}\,(\hbox{curl}\,\mathbf{F})=\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F})=0$

$\displaystyle \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F})=\begin{vmatrix} D_x&D_y&D_z\\ D_x&D_y&D_z\\ F_1&F_2&F_3 \end{vmatrix}=0$

(3) 對於任一 $C^2$ 函數 $f$，梯度的散度稱為 $f$ 的 Laplacian：

$\displaystyle \hbox{div}\,(\hbox{grad}\,f)=\nabla\cdot(\nabla f)=\nabla^2f$

$\displaystyle \nabla^2f=D_x^2f+D_y^2f+D_z^2f=\nabla\cdot(\nabla f)$

$\displaystyle \nabla^2\mathbf{F}=\nabla^2F_1\mathbf{i}+\nabla^2F_2\mathbf{j}+\nabla^2F_3\mathbf{k}$

(4) 對於任一 $C^2$ 向量場 $\mathbf{F}$

$\displaystyle \hbox{curl}\,(\hbox{curl}\,\mathbf{F})=\nabla\times(\nabla\times\mathbf{F})=\hbox{grad}\,(\hbox{div}\,\mathbf{F})-\nabla^2\mathbf{F}$

\displaystyle \begin{aligned} \nabla\times(\nabla\times\mathbf{F})&=\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ D_x&D_y&D_z\\ \begin{vmatrix} D_y&D_z\\ F_2&F_3 \end{vmatrix}&\begin{vmatrix} D_z&D_x\\ F_3&F_1 \end{vmatrix}&\begin{vmatrix} D_x&D_y\\ F_1&F_2 \end{vmatrix} \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} D_y&D_z\\ \begin{vmatrix} D_z&D_x\\ F_3&F_1 \end{vmatrix}&\begin{vmatrix} D_x&D_y\\ F_1&F_2 \end{vmatrix} \end{vmatrix}\mathbf{i}+\begin{vmatrix} D_z&D_x\\ \begin{vmatrix} D_x&D_y\\ F_1&F_2 \end{vmatrix}&\begin{vmatrix} D_y&D_z\\ F_2&F_3 \end{vmatrix} \end{vmatrix}\mathbf{j}+\begin{vmatrix} D_x&D_y\\ \begin{vmatrix} D_y&D_z\\ F_2&F_3 \end{vmatrix}&\begin{vmatrix} D_z&D_x\\ F_3&F_1 \end{vmatrix} \end{vmatrix}\mathbf{k} .\end{aligned}

\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} D_y&D_z\\ \begin{vmatrix} D_z&D_x\\ F_3&F_1 \end{vmatrix}&\begin{vmatrix} D_x&D_y\\ F_1&F_2 \end{vmatrix} \end{vmatrix}&=\left|\!\!\begin{array}{ccr} D_y&0&-D_z\\ D_z&D_x&D_y\\ F_3&F_1&F_2 \end{array}\!\!\right|\\ &=D_x\left|\!\!\begin{array}{cr} D_y&-D_z\\ F_3&F_2 \end{array}\!\!\right|-\left|\!\!\begin{array}{cr} D_y&-D_z\\ D_z&D_y \end{array}\!\!\right|F_1\\ &=D_x(D_xF_1+D_yF_2+D_zF_3)-(D_x^2+D_y^2+D_z^2)F_1\\ &=D_x(\hbox{div}\,\mathbf{F})-\nabla^2F_1.\end{aligned}

$\displaystyle \nabla\times(\nabla\times\mathbf{F})=\nabla(\hbox{div}\,\mathbf{F})-\nabla^2\mathbf{F}$

1. $\nabla(f+g)=\nabla f+\nabla g$
2. $\nabla(cf)=c\nabla f$
3. $\nabla(fg)=f\nabla g+g\nabla f$
4. $\nabla(f/g)=(g\nabla f-f\nabla g)/g^2$$g\neq 0$
5. $\hbox{div}\,(\mathbf{F}+\mathbf{G})=\hbox{div}\,\mathbf{F}+\hbox{div}\,\mathbf{G}$
6. $\hbox{curl}\,(\mathbf{F}+\mathbf{G})=\hbox{curl}\,\mathbf{F}+\hbox{curl}\,\mathbf{G}$
7. $\nabla(\mathbf{F}\cdot\mathbf{G})=(\mathbf{F}\cdot\nabla)\mathbf{G}+(\mathbf{G}\cdot\nabla)\mathbf{F}+\mathbf{F}\times(\hbox{curl}\,\mathbf{G})+\mathbf{G}\times(\hbox{curl}\,\mathbf{F})$
8. $\hbox{div}\,(f\mathbf{F})=f\,\hbox{div}\,\mathbf{F}+\mathbf{F}\cdot\nabla f$
9. $\hbox{div}\,(\mathbf{F}\times\mathbf{G})=\mathbf{G}\cdot\hbox{curl}\,\mathbf{F}-\mathbf{F}\cdot\hbox{curl}\,\mathbf{G}$
10. $\hbox{curl}\,(f\mathbf{F})=f\hbox{curl}\,\mathbf{F}+\nabla f\times\mathbf{F}$
11. $\hbox{curl}\,(\mathbf{F}\times\mathbf{G})=\mathbf{F}(\hbox{div}\,\mathbf{G})-\mathbf{G}(\hbox{div}\,\mathbf{F})+(\mathbf{G}\cdot\nabla)\mathbf{F}-(\mathbf{F}\cdot\nabla)\mathbf{G}$
12. $\nabla(\mathbf{F}\cdot\mathbf{F})=2(\mathbf{F}\cdot\nabla)\mathbf{F}+2\mathbf{F}\times(\hbox{curl}\,\mathbf{F})$
13. $\nabla^2(fg)=f\nabla^2g+g\nabla^2f+2(\nabla f\cdot\nabla g)$
14. $\hbox{div}\,(\nabla f\times \nabla g)=0$
15. $\nabla\cdot(f\nabla g-g\nabla f)=f\nabla^2g-g\nabla^2 f$
16. $\mathbf{H}\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G})=\mathbf{G}\cdot(\mathbf{H}\times\mathbf{F})=\mathbf{F}\cdot(\mathbf{G}\times\mathbf{H})$
17. $\mathbf{H}\cdot((\mathbf{F}\times\nabla)\times\mathbf{G})=((\mathbf{H}\cdot\nabla)\mathbf{G})\cdot \mathbf{F}-\mathbf{H}\cdot(\mathbf{F}\cdot\nabla)\mathbf{G}$
18. $\mathbf{F}\times(\mathbf{G}\times\mathbf{H})=(\mathbf{F}\cdot \mathbf{H})\mathbf{G}-\mathbf{H}(\mathbf{F}\cdot \mathbf{G})$

[1] Jerrold E. Marsden 與 Anthony J. Tromba 合著 Vector Calculus，1976，頁166。

This entry was posted in 特別主題 and tagged , , , , , . Bookmark the permalink.

### 26 則回應給 梯度、散度與旋度

1. Watt Lin 說：

感謝老師精彩的解說！
——————–
您文章裡頭談到：
旋度的散度為零，另一個較為「激進」的說法是行列式有相同的兩列因此為零。

我以前也曾經有這個想法，用行列式的性質，一眼看出，它等於零！
但是所看過幾本向量分析的書，皆沒這樣寫。
大概是我看過的書不多吧！
我不知道，是否有哪一本向量分析的教科書，真的這樣寫？
——————–
另外，維基百科談「旋度」
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%97%8B%E5%BA%A6
有一句話，行列式記號只有形式上的意義，因為真正的行列式中的係數應該是數，而不是i, j, k￼這樣的向量。這種表示方法只是便於記憶旋度在直角坐標系中的表達式。
我看到這句話，思考著，行列式裡，真的必需存放「數值」嗎？運算子放在行列式之中，只是方便記憶嗎？

• ccjou 說：

我只知道一本向量分析老書：Marsden & Tromba 的Vector calculus, 1976, 上面的那一堆公式都是取自該書。那本書並沒有直接採用行列式性質來證明(2)，而是將行列式展開後利用偏微分性質得到結論，也沒有提供(4)的證明。如維基所述：我們將外積寫成行列式確實僅有形式上的意義，因為同在一列的i,j,k是向量不是數字，同在一列的Dx, Dy,Dz是微分算子也不是數字。但是，因為他們的行列式表達式具有規律(同在一列)，並遵守數的運算規則，即結合律，交換律，分配律等等，所以我才敢大膽地使用行列式性質。我想嚴謹正派的數學家不會走這種旁門左道的。

2. Watt Lin 說：

數學的發展過程，有時先出現「不嚴謹」的計算過程，後人以「嚴謹」的方式，詳加論證。
我所知道的，像是牛頓與萊布尼茲的微積分，經過三百餘年，Weierstrass與Cauchy等人，作了嚴謹證明。
歐拉的著作，原本份量已不少，原書的許多地方僅是輕描淡寫。有人用詳細論證方式，重新演算，變成更厚之巨冊。
另外，複數域的自然指數Exp(z)還沒證明，(我忘了是哪位數學家) 竟然把它比照實數域的Exp(x)使用，這是不是很「危險」？很「不嚴謹」？萬一錯了怎麼辦？幸好還能算出答案，早年卻沒有證明。後人發展「複變函數論」，才真的證明Exp(z)的微分、積分等各種性質，不僅表達式與實數域的Exp(x)相似，也是可靠的！

這回在老師的部落格談到，微分運算子放在行列式裡頭，div (curl F) 的演算，兩列微分運算子相同，由行列式的性質可知，行列式值為零。雖然「不嚴謹」，看起來卻是一種幫助「認知」的好方法。

以上這些，我想表達，數學教育，有時太過於著重「嚴謹」，而使學生畏懼。
如果先享受「概念式」學習，然後，有興趣詳細研究的人，可以升級到「嚴謹」階段。循序漸進教學，可以讓更多人喜歡數學。
我常來周老師的部落格瀏覽，就是喜歡看看「不一樣」的論述方式，得到許多靈感啟發！
感謝老師持續寫作，嘉惠許多學生。

• ccjou 說：

我的專業並不是數學，所以有時候不知不覺行文鬆散。今天如果沒有數學家這個專業，說不定每一個人都願意依據自己的風格自由表述「數學」，像記錄旅遊心得那樣自在。很遺憾，現實並非如此。如果我的老師看到我將2階行列式換成3階行列式，肯定不以為然。畢竟，向來只有降階，哪有反其道而行的？照目前的氛圍，那些渴望擁有自由靈魂的年輕人怎麼可能會喜歡數學？

3. Watt Lin 說：

在老師這篇文章中，我個人認為最精彩的壓軸好戲，在於 curl (curl F) 的演算，簡潔明瞭！以前從來沒看過這樣的運算過程。

4. edge 說：

這篇的(向量場的Jacobin)怎麼和林琦焜老師的向量分析寫得不一樣??剛好取轉至

5. ccjou 說：

本文採用的Jacobian matrix是通用的分子布局慣例，請見維基百科：
http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_matrix_and_determinant

6. lay 說：

老師我想問個白癡問題= ="
後面公式7應該是散度的地方把三角形排在後面是什麼意思

• ccjou 說：

公式7是計算梯度$\nabla(\mathbf{F}\cdot\mathbf{G})$，不是散度。

7. 黎大維 說：

老師你好 :
我也有一樣的問題, 公式7等號右邊第一項, 有一個先寫F,再寫倒三角形, 兩者作點積, 這是甚麼是意思呢?
這應該不是散度吧?
因為散度應該是先寫倒三角形再寫F !!

如果老師您有看到的話, 可以煩請您撥冗回覆一下嗎, 感激不盡….謝謝

• ccjou 說：

第一項是一個向量(場)：
\displaystyle\begin{aligned} (\mathbf{F}\cdot\nabla)\mathbf{G}&=(F_1D_x+F_2D_y+F_3D_z)(G_1\mathbf{i}+G_2\mathbf{j}+G_3\mathbf{k})\\ &=(F_1D_x+F_2D_y+F_3D_z)G_1\mathbf{i}+(F_1D_x+F_2D_y+F_3D_z)G_2\mathbf{j}+(F_1D_x+F_2D_y+F_3D_z)G_3\mathbf{k} \end{aligned}

• Watt Lin 說：

$(\textbf{F} \cdot \nabla )\textbf{G} \linebreak = (F_{1}\textbf{i}+F_{2}\textbf{j}+F_{3}\textbf{k})(\textbf{i}\frac{\partial }{\partial x}+\textbf{j}\frac{\partial }{\partial y}+\textbf{k}\frac{\partial }{\partial z})\textbf{G} \linebreak =(F_{1} \frac{\partial }{\partial x} + F_{2} \frac{\partial }{\partial y} + F_{3} \frac{\partial }{\partial z})\textbf{G} \linebreak = F_{1} \frac{\partial G_{1}}{\partial x} + F_{2} \frac{\partial G_{2}}{\partial y} + F_{3} \frac{\partial G_{3}}{\partial z}$

以上若有不對，請老師再修改。

• Watt Lin 說：

\begin{aligned} (\textbf{F} \cdot \nabla )\textbf{G} &= (F_{1}\textbf{i}+F_{2}\textbf{j}+F_{3}\textbf{k})(\textbf{i}\frac{\partial }{\partial x}+\textbf{j}\frac{\partial }{\partial y}+\textbf{k}\frac{\partial }{\partial z})\textbf{G} \\ &=(F_{1} \frac{\partial }{\partial x} + F_{2} \frac{\partial }{\partial y} + F_{3} \frac{\partial }{\partial z})\textbf{G} \\ &= F_{1} \frac{\partial G_{1}}{\partial x} + F_{2} \frac{\partial G_{2}}{\partial y} + F_{3} \frac{\partial G_{3}}{\partial z}\end{aligned}

• Watt Lin 說：

想要靠左對齊，出現 Formula does not parse。
我對Latex操作不熟悉，請見諒！

• Watt Lin 說：

我發現我弄錯了！算出來不應該是純量。

8. Watt Lin 說：

\begin{aligned} (\textbf{F} \cdot \nabla )\textbf{G} &= ((F_{1}\textbf{i}+F_{2}\textbf{j}+F_{3}\textbf{k}) \cdot (\textbf{i}\frac{\partial }{\partial x}+\textbf{j}\frac{\partial }{\partial y}+\textbf{k}\frac{\partial }{\partial z}))\textbf{G} \\ &=(F_{1} \frac{\partial }{\partial x} + F_{2} \frac{\partial }{\partial y} + F_{3} \frac{\partial }{\partial z})\textbf{G} \\ &=(F_{1} \frac{\partial }{\partial x} + F_{2} \frac{\partial }{\partial y} + F_{3} \frac{\partial }{\partial z}) (G_{1}\textbf{i}+G_{2}\textbf{j}+G_{3}\textbf{k}) \\ &= (F_{1} \frac{\partial G_{1}}{\partial x} + F_{2} \frac{\partial G_{1}}{\partial y} + F_{3} \frac{\partial G_{1}}{\partial z}) \textbf{i} + (F_{1} \frac{\partial G_{2}}{\partial x} + F_{2} \frac{\partial G_{2}}{\partial y} + F_{3} \frac{\partial G_{2}}{\partial z}) \textbf{j} + (F_{1} \frac{\partial G_{3}}{\partial x} + F_{2} \frac{\partial G_{3}}{\partial y} + F_{3} \frac{\partial G_{3}}{\partial z}) \textbf{k}\end{aligned}

9. Watt Lin 說：

$(\textbf{F} \cdot \nabla )\textbf{G} \linebreak = ((F_{1}\textbf{i}+F_{2}\textbf{j}+F_{3}\textbf{k}) \cdot (\textbf{i}\frac{\partial }{\partial x}+\textbf{j}\frac{\partial }{\partial y}+\textbf{k}\frac{\partial }{\partial z}))\textbf{G} \linebreak =(F_{1} \frac{\partial }{\partial x} + F_{2} \frac{\partial }{\partial y} + F_{3} \frac{\partial }{\partial z})\textbf{G} \linebreak =(F_{1} \frac{\partial }{\partial x} + F_{2} \frac{\partial }{\partial y} + F_{3} \frac{\partial }{\partial z}) (G_{1}\textbf{i}+G_{2}\textbf{j}+G_{3}\textbf{k}) \linebreak = (F_{1} \frac{\partial G_{1}}{\partial x} + F_{2} \frac{\partial G_{1}}{\partial y} + F_{3} \frac{\partial G_{1}}{\partial z}) \textbf{i} + (F_{1} \frac{\partial G_{2}}{\partial x} + F_{2} \frac{\partial G_{2}}{\partial y} + F_{3} \frac{\partial G_{2}}{\partial z}) \textbf{j} + (F_{1} \frac{\partial G_{3}}{\partial x} + F_{2} \frac{\partial G_{3}}{\partial y} + F_{3} \frac{\partial G_{3}}{\partial z}) \textbf{k}$

10. Watt Lin 說：

$(\textbf{F} \cdot \nabla )\textbf{G} \\ = ((F_{1}\textbf{i}+F_{2}\textbf{j}+F_{3}\textbf{k}) \cdot (\textbf{i}\frac{\partial }{\partial x}+\textbf{j}\frac{\partial }{\partial y}+\textbf{k}\frac{\partial }{\partial z}))\textbf{G} \\ =(F_{1} \frac{\partial }{\partial x} + F_{2} \frac{\partial }{\partial y} + F_{3} \frac{\partial }{\partial z})\textbf{G} \\ =(F_{1} \frac{\partial }{\partial x} + F_{2} \frac{\partial }{\partial y} + F_{3} \frac{\partial }{\partial z}) (G_{1}\textbf{i}+G_{2}\textbf{j}+G_{3}\textbf{k}) \\ = (F_{1} \frac{\partial G_{1}}{\partial x} + F_{2} \frac{\partial G_{1}}{\partial y} + F_{3} \frac{\partial G_{1}}{\partial z}) \textbf{i} + (F_{1} \frac{\partial G_{2}}{\partial x} + F_{2} \frac{\partial G_{2}}{\partial y} + F_{3} \frac{\partial G_{2}}{\partial z}) \textbf{j} + (F_{1} \frac{\partial G_{3}}{\partial x} + F_{2} \frac{\partial G_{3}}{\partial y} + F_{3} \frac{\partial G_{3}}{\partial z}) \textbf{k}$

• Watt Lin 說：

大概是這樣吧！
抱歉，我對於Latex不熟悉，嘗試很多次錯誤，才修改完成。

• ccjou 說：

我將LaTeX修改了。語法是
\begin{aligned}
p(x)
&=f(x)+g(x)\\
&=h(x)-l(x)
\end{aligned}

顯示如下：

\begin{aligned} p(x) &=f(x)+g(x)\\ &=h(x)-l(x) \end{aligned}

11. Watt Lin 說：

$(\textbf{F} \cdot \nabla )\textbf{G}$
這樣的符號書寫，對於記憶有幫助。
初學者卻可能弄不清楚它的意義，剛開始可以先練習詳細寫出每個項目，
寫兩三次，大概便能領略簡單符號的意涵。

• ccjou 說：

上文列舉的18個公式，即便我們完成推導證明，多數都難以直覺理解。玄之又玄。

• Watt Lin 說：

「玄之又玄」我想到「旋之又旋」，也就是 $\nabla \times (\nabla \times \textbf{F})$
在高中三年級時，學校課程只教簡單的微積分，我由中央日報看到一本「向量微積分」的新書廣告，便很好奇，到書局拿起來翻閱，幾分鐘後就決定購買。
書裡頭，我最感興趣的，就是 $\nabla \times (\nabla \times \textbf{F})$
，但是不瞭解其用途，因為直觀看不出意義。
經過二十多年，我看了交通大學出版社的《電磁學》課程，才知道這條數學式的應用，瞭解之後，實在很高興！

12. 小李 說：

14題公式有問題嗎?我推導不是0

• ccjou 說：

轉貼網友林聖興的迴響：

老師您好：

看見有人對於《梯度、旋度與散度》第14條公式有疑問，我一時好奇，試著推演看看，答案是0，沒錯！

以MathType打字，附檔裡面有彩色，我不大會用latex的方式操作網頁回覆，寄給您參考。