## 每週問題 July 1, 2013

Let $A$ be a $2\times 2$ real matrix. Show that

$\displaystyle \Vert A\Vert_2^2=\frac{\Vert A\Vert_F^2+\sqrt{\Vert A\Vert_F^4-4(\det A)^2}}{2},$

where $\Vert A\Vert_2$ is the 2-norm of $A$ and $\Vert A\Vert_F$ is the Frobenius norm of $A$.

$\lambda_1\ge\lambda_2\ge 0$ 為半正定矩陣 $A^TA$ 的特徵值。下列性質成立：$\lambda_1+\lambda_2=\hbox{tr}(A^TA)$$\lambda_1\lambda_2=\det(A^TA)=(\det A)^2$。Frobenius 範數 $\Vert A\Vert_F$ 等於 $\sqrt{\hbox{tr}(A^TA)}$，且 2-範數 $\Vert A\Vert_2$ 即為 $A$ 的最大奇異值，也就是 $\sqrt{\lambda_1}$。接下來只要解出 $\lambda_1$ 即可。使用以上結果，寫出 $A^TA$ 的特徵多項式

$\displaystyle p(t)=t^2-(\lambda_1+\lambda_2)t+\lambda_1\lambda_2=t^2-\Vert A\Vert_F^2t+(\det A)^2$

\displaystyle\begin{aligned} \lambda_1&=\frac{\Vert A\Vert_F^2+\sqrt{\Vert A\Vert_F^4-4(\det A)^2}}{2}\\ \lambda_2&=\frac{\Vert A\Vert_F^2-\sqrt{\Vert A\Vert_F^4-4(\det A)^2}}{2} ,\end{aligned}

$\lambda_1=\Vert A\Vert^2_2$，因此得證。