每週問題 July 8, 2013

Let $A$ and $B$ be $n\times n$ Hermitian matrices. We denote $A\succcurlyeq B$ if $A-B$ is positive semidefinite. If $A\succ 0$, i.e., $A$ is positive definite, show that $A+A^{-1}\succcurlyeq 2I$.

Hermitian 正定矩陣 $A$ 可對角化為 $A=U\Lambda U^\ast$，其中 $\Lambda=\hbox{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ 且每一 $\lambda_i>0$$U$ 是么正 (unitary) 矩陣，即 $U^\ast=U^{-1}$。利用 $\lambda_i+\lambda_i^{-1}\ge 2$ 計算二次型：

$\displaystyle \mathbf{x}^\ast(A+A^{-1})\mathbf{x}=\mathbf{x}^\ast U(\Lambda+\Lambda^{-1})U^\ast\mathbf{x}\ge 2\mathbf{x}^\ast UU^\ast\mathbf{x}=2\mathbf{x}^\ast\mathbf{x}$

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