## 每週問題 July 15, 2013

Let $A$ and $B$ be $n\times n$ Hermitian matrices. If $A$ is positive definite, show that there exists an invertible matrix $P$ such that $P^\ast AP=I$ and $P^\ast BP=D$, where $D$ is a diagonal matrix.

$A=Q\Lambda Q^\ast=Q\Lambda^{1/2}\Lambda^{1/2}Q^\ast=(\Lambda^{1/2}Q^\ast)^\ast(\Lambda^{1/2}Q^\ast)$

$C^\ast=((M^{-1})^\ast BM^{-1})^\ast=(M^{-1})^\ast B^\ast M^{-1}=(M^{-1})^\ast BM^{-1}=C$

$C$ 是一 Hermitian 矩陣，故可對角化為 $C=UDU^\ast$，其中 $D$ 是對角矩陣且 $U^\ast=U^{-1}$。所以，$(M^{-1})^\ast BM^{-1}=UDU^\ast$，即有 $(M^{-1}U)^\ast B(M^{-1}U)=D$。另外，

$(M^{-1}U)^\ast A(M^{-1}U)=U^\ast(M^{-1})^\ast AM^{-1}U=U^\ast IU=I$