每週問題 July 15, 2013

這是關於 Hermitian 矩陣同時可對角化的問題。

Let A and B be n\times n Hermitian matrices. If A is positive definite, show that there exists an invertible matrix P such that P^\ast AP=I and P^\ast BP=D, where D is a diagonal matrix.

 
參考解答:

因為 A 是 Hermitian 正定矩陣,故可對角化為

A=Q\Lambda Q^\ast=Q\Lambda^{1/2}\Lambda^{1/2}Q^\ast=(\Lambda^{1/2}Q^\ast)^\ast(\Lambda^{1/2}Q^\ast)

其中 \Lambda=\hbox{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\lambda_i>0i=1,\ldots,nQ 是么正 (unitary) 矩陣,Q^\ast=Q^{-1}。令 M=\Lambda^{1/2}Q^\ast。明顯地,M 是可逆矩陣。上式可寫成 A=M^\ast M,或 (M^{-1})^\ast AM^{-1}=I。令 C=(M^{-1})^\ast BM^{-1}。因為

C^\ast=((M^{-1})^\ast BM^{-1})^\ast=(M^{-1})^\ast B^\ast M^{-1}=(M^{-1})^\ast BM^{-1}=C

C 是一 Hermitian 矩陣,故可對角化為 C=UDU^\ast,其中 D 是對角矩陣且 U^\ast=U^{-1}。所以,(M^{-1})^\ast BM^{-1}=UDU^\ast,即有 (M^{-1}U)^\ast B(M^{-1}U)=D。另外,

(M^{-1}U)^\ast A(M^{-1}U)=U^\ast(M^{-1})^\ast AM^{-1}U=U^\ast IU=I

因此證明可逆矩陣 P=M^{-1}U 符合所求。

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