利用多項式分解向量空間──兼論齊次線性微分方程解法

本文的閱讀等級：中級

考慮齊次線性微分方程

$\displaystyle D^ny+a_{n-1}D^{n-1}y+\cdots+a_0y=0$ ，

其中 $D=d/dt$ 是微分算子， $a_i$ 皆為常係數。令

$\displaystyle f(t)=t^n+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots+a_0$ 。

以 $D$ 取代 $t$ ，可得 $f(D)=D^n+a_{n-1}D^{n-1}+\cdots+a_0$ 。從線性代數觀點，求解齊次線性微分方程 $f(D)y=0$ 等同於計算線性算子 $f(D)$ 的核 (kernel) 或零空間 (見“從線性代數看微分方程”)。本文解釋如何利用多項式來分解向量空間，藉此並可建立齊次線性微分方程解法的理論基礎。

令 $\mathcal{V}$ 為一個有限維向量空間， $A:\mathcal{V}\to\mathcal{V}$ 為線性算子。對於子空間 $\mathcal{X}\subseteq\mathcal{V}$ ，令 $A(\mathcal{X})$ 代表子空間 $\mathcal{X}$ 中所有向量經過 $A$ 映射得到的像 (image) 所成的集合，即

$A(\mathcal{X})=\{A\mathbf{x}\vert\mathbf{x}\in\mathcal{X}\}$ 。

若 $A(\mathcal{X})\subseteq\mathcal{X}$ ，我們稱 $\mathcal{X}$ 是線性算子 $A$ 的一個不變子空間 (invariant subspace，見“不變子空間──解構線性算子的利器”)。舉一例，若 $f(t)$ 是一個多項式，且 $\mathcal{X}$ 是 $f(A)$ 的零空間，則 $\mathcal{X}$ 是 $A$ 的一個不變子空間。證明於下：假設 $f(A)\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 。因為 $tf(t)=f(t)t$ ，可知 $\displaystyle Af(A)=f(A)A$ ，就有

$f(A)(A\mathbf{x})=f(A)A\mathbf{x}=Af(A)\mathbf{x}=\mathbf{0}$ ，

故證明 $A\mathbf{x}$ 屬於 $f(A)$ 的零空間。

若 $f(t)=a_nt^n+\cdots+a_0$ 且 $a_n\neq 0$ ，則 $f(t)$ 稱為 $n$ 次多項式，記為 $\deg f=n$ 。如果多項式 $f(t)$ 和 $g(t)$ 的最高公因式為 $1$ ，也就是說，除了常數外沒有其他公因式，我們稱它們互質。下面的定理說明若多項式可分解成兩個互質的因式，則向量空間可分解成兩個不變子空間的直和。

定理一：令 $f(t)$ 為一個多項式，且 $A:\mathcal{V}\to\mathcal{V}$ 為滿足 $f(A)=0$ 的線性算子。若 $f(t)=g(t)h(t)$ ，其中 $\deg g,\deg h\ge 1$ 且 $g(t)$ 和 $h(t)$ 互質，則 $\mathcal{V}$ 是 $\mathcal{X}$ 和 $\mathcal{Y}$ 的直和，記為 $\displaystyle \mathcal{V}=\mathcal{X}\oplus\mathcal{Y}$ ，其中 $\mathcal{X}$ 是 $g(A)$ 的零空間， $\mathcal{Y}$ 是 $h(A)$ 的零空間。

證明於下。因為 $g(t)$ 和 $h(t)$ 互質，存在多項式 $p(t)$ 和 $q(t)$ 使得

$\displaystyle p(t)g(t)+q(t)h(t)=1$ ，

即有關鍵式：

$\displaystyle p(A)g(A)+q(A)h(A)=I$ ，

其中 $I:\mathcal{V}\to\mathcal{V}$ 為單位算子。對於 $\mathbf{v}\in\mathcal{V}$ ，

$\displaystyle \mathbf{v}=p(A)g(A)\mathbf{v}+q(A)h(A)\mathbf{v}$ 。

等號右邊第一項屬於 $\mathcal{Y}$ ，因為

$\displaystyle h(A)p(A)g(A)\mathbf{v}=p(A)g(A)h(A)\mathbf{v}=p(A)f(A)\mathbf{v}=\mathbf{0}$ 。

類似地，等號右邊第二項屬於 $\mathcal{X}$ 。這說明 $\mathcal{V}=\mathcal{X}+\mathcal{Y}$ 。接著我們要證明 $\mathcal{X}\cap\mathcal{Y}=\{\mathbf{0}\}$ 。假設 $\mathbf{x}\in\mathcal{X}$ 且 $\mathbf{x}\in\mathcal{Y}$ ，則 $g(A)\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 且 $h(A)\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 。再套用關鍵式，可得

$\displaystyle \mathbf{x}=p(A)g(A)\mathbf{x}+q(A)h(A)\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 。

因為 $\mathcal{V}=\mathcal{X}\oplus\mathcal{Y}$ 等價於 $\mathcal{V}=\mathcal{X}+\mathcal{Y}$ 且 $\mathcal{X}\cap\mathcal{Y}=\{\mathbf{0}\}$ (見“補子空間與直和”)，故得證。

定理一可以推廣至 $f$ 分解為多個因式的情況。

定理二：令 $f(t)$ 為一個多項式，且 $A:\mathcal{V}\to\mathcal{V}$ 為滿足 $f(A)=0$ 的線性算子。若

$f(t)=(t-\lambda_1)^{\beta_1}\cdots(t-\lambda_r)^{\beta_r}$ ，

其中 $\lambda_1,\ldots,\lambda_r$ 是相異根，則

$\displaystyle \mathcal{V}=\mathcal{X}_1\oplus\cdots\oplus\mathcal{X}_r$ ，

其中 $\mathcal{X}_i$ 是 $(A-\lambda_iI)^{\beta_i}$ 的零空間， $i=1,\ldots,r$ 。

證明採用歸納法。我們將 $(t-\lambda_1)^{\beta_1},\ldots,(t-\lambda_r)^{\beta_r}$ 一個一個分解出來。令 $\mathcal{X}_1$ 為 $(A-\lambda_1I)^{\beta_1}$ 的零空間， $\mathcal{X}$ 為 $(A-\lambda_2I)^{\beta_2}\cdots(A-\lambda_rI)^{\beta_r}$ 的零空間。因為 $(t-\lambda_1)^{\beta_1}$ 和 $(t-\lambda_2)^{\beta_2}\cdots(t-\lambda_r)^{\beta_r}$ 互質，根據定理一， $\mathcal{V}=\mathcal{X}_1\oplus\mathcal{X}$ 。因為 $\mathcal{X}$ 是一個不變子空間，將線性算子 $A$ 限定於子空間 $\mathcal{X}$ 上，稱為限定算子 (restriction)，以符號表示為 $A_{/\mathcal{X}}:\mathcal{X}\rightarrow\mathcal{X}$ (見“利用循環子空間計算特徵多項式”)。繼續分解限定算子 $A_{/\mathcal{X}}$ 所在的子空間 $\mathcal{X}$ ，可得

$\mathcal{X}=\mathcal{X}_2\oplus\cdots\oplus\mathcal{X}_r$ ，

其中 $\mathcal{X}_j$ 是 $(A-\lambda_jI)^{\beta_j}$ 在 $\mathcal{X}$ 的零空間， $j=2,\ldots,r$ ，即有

$\mathcal{V}=\mathcal{X}_1\oplus\mathcal{X}_2\oplus\cdots\oplus\mathcal{X}_r$ 。

現在我們回到齊次線性微分方程的求解問題：

$\displaystyle D^ny+a_{n-1}D^{n-1}y+\cdots+a_0y=0$ 。

提出所有微分算子，寫成多項式並分解因式：

$\displaystyle f(t)=t^n+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots+a_0=(t-\lambda_1)^{\beta_1}\cdots(t-\lambda_r)^{\beta_r}$ 。

套用定理二，以微分算子 $D$ 取代線性算子 $A$ ，則微分方程的齊次解所形成的空間 (即向量空間 $\mathcal{V}$ ) 可分解為 $(D-\lambda_iI)^{\beta_i}y=0$ ， $i=1,\ldots,r$ ，的解空間的直和。所以原始的微分方程化約為更簡單的標準形式：

$(D-\lambda I)^\beta y=0$ 。

這樣做的好處是非常容易求出上式的解。定理三給出這個齊次微分方程的解空間基底，稱為解基 (solution basis)。

定理三：若 $\lambda$ 為複數， $\mathcal{X}$ 是微分方程 $(D-\lambda I)^\beta y=0$ 的解空間，則 $\dim\mathcal{X}=\beta$ 且下列函數構成 $\mathcal{X}$ 的解基：

$e^{\lambda t},te^{\lambda t},\ldots,t^{\beta-1}e^{\lambda t}$ 。

對於任一 $\lambda$ ，使用數學歸納法可證明^[1]

$(D-\lambda I)^\beta y=e^{\lambda t}D^\beta(e^{-\lambda t}y)$ 。

因此， $y$ 屬於 $(D-\lambda I)^\beta$ 的零空間等價於

$D^\beta(e^{-\lambda t}y)=0$ 。

我們知道 $\beta$ 次微分等於 $0$ 的唯一函數型態是最高次數為 $\beta-1$ 的多項式。換句話說， $(D-\lambda I)^{\beta}y=0$ 的通解定可表示為 $\{e^{\lambda t},te^{\lambda t},\ldots,t^{\beta-1}e^{\lambda t}\}$ 的線性組合。利用 Wronskian 行列式可證明這些函數組成線性獨立集，故為齊次微分方程解的解基 (見“利用行列式判斷線性獨立函數”)。

註解
[1] 若 $\beta=1$ ，則

$\displaystyle e^{\lambda t}D(e^{-\lambda t}y)=e^{\lambda t}(-\lambda e^{-\lambda t}y+e^{-\lambda t}Dy)=-\lambda Iy+Dy$ 。

當 $\beta=k\ge 1$ ，假設 $\displaystyle (D-\lambda I)^k y=e^{\lambda t}D^k(e^{-\lambda t}y)$ 。使用上式，可得

$\displaystyle\begin{aligned} (D-\lambda I)^{k+1}y&=(D-\lambda I)\left(e^{\lambda t}D^k(e^{-\lambda t}y)\right)\\ &=D\left(e^{\lambda t}D^k(e^{-\lambda t}y)\right)-\lambda e^{\lambda t}D^k(e^{-\lambda t}y)\\ &=\lambda e^{\lambda t}D^k(e^{-\lambda t}y)+e^{\lambda t}D^{k+1}(e^{-\lambda t}y)-\lambda e^{\lambda t}D^k(e^{-\lambda t}y)\\ &=e^{\lambda t}D^{k+1}(e^{-\lambda t}y) ,\end{aligned}$

因此得證。

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