利用多項式分解向量空間──兼論齊次線性微分方程解法

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考慮齊次線性微分方程

\displaystyle  D^ny+a_{n-1}D^{n-1}y+\cdots+a_0y=0

其中 D=d/dt 是微分算子,a_i 皆為常係數。令

\displaystyle  f(t)=t^n+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots+a_0

D 取代 t,可得 f(D)=D^n+a_{n-1}D^{n-1}+\cdots+a_0。從線性代數觀點,求解齊次線性微分方程 f(D)y=0 等同於計算線性算子 f(D) 的核 (kernel) 或零空間 (見“從線性代數看微分方程”)。本文解釋如何利用多項式來分解向量空間,藉此並可建立齊次線性微分方程解法的理論基礎。

 
\mathcal{V} 為一個有限維向量空間,A:\mathcal{V}\to\mathcal{V} 為線性算子。對於子空間 \mathcal{X}\subseteq\mathcal{V},令 A(\mathcal{X}) 代表子空間 \mathcal{X} 中所有向量經過 A 映射得到的像 (image) 所成的集合,即

A(\mathcal{X})=\{A\mathbf{x}\vert\mathbf{x}\in\mathcal{X}\}

A(\mathcal{X})\subseteq\mathcal{X},我們稱 \mathcal{X} 是線性算子 A 的一個不變子空間 (invariant subspace,見“不變子空間──解構線性算子的利器”)。舉一例,若 f(t) 是一個多項式,且 \mathcal{X}f(A) 的零空間,則 \mathcal{X}A 的一個不變子空間。證明於下:假設 f(A)\mathbf{x}=\mathbf{0}。因為 tf(t)=f(t)t,可知 \displaystyle  Af(A)=f(A)A,就有

f(A)(A\mathbf{x})=f(A)A\mathbf{x}=Af(A)\mathbf{x}=\mathbf{0}

故證明 A\mathbf{x} 屬於 f(A) 的零空間。

 
f(t)=a_nt^n+\cdots+a_0a_n\neq 0,則 f(t) 稱為 n 次多項式,記為 \deg f=n。如果多項式 f(t)g(t) 的最高公因式為 1,也就是說,除了常數外沒有其他公因式,我們稱它們互質。下面的定理說明若多項式可分解成兩個互質的因式,則向量空間可分解成兩個不變子空間的直和。

 
定理一:令 f(t) 為一個多項式,且 A:\mathcal{V}\to\mathcal{V} 為滿足 f(A)=0 的線性算子。若 f(t)=g(t)h(t),其中 \deg g,\deg h\ge 1g(t)h(t) 互質,則 \mathcal{V}\mathcal{X}\mathcal{Y} 的直和,記為 \displaystyle  \mathcal{V}=\mathcal{X}\oplus\mathcal{Y},其中 \mathcal{X}g(A) 的零空間,\mathcal{Y}h(A) 的零空間。

證明於下。因為 g(t)h(t) 互質,存在多項式 p(t)q(t) 使得

\displaystyle  p(t)g(t)+q(t)h(t)=1

即有關鍵式:

\displaystyle  p(A)g(A)+q(A)h(A)=I

其中 I:\mathcal{V}\to\mathcal{V} 為單位算子。對於 \mathbf{v}\in\mathcal{V}

\displaystyle  \mathbf{v}=p(A)g(A)\mathbf{v}+q(A)h(A)\mathbf{v}

等號右邊第一項屬於 \mathcal{Y},因為

\displaystyle  h(A)p(A)g(A)\mathbf{v}=p(A)g(A)h(A)\mathbf{v}=p(A)f(A)\mathbf{v}=\mathbf{0}

類似地,等號右邊第二項屬於 \mathcal{X}。這說明 \mathcal{V}=\mathcal{X}+\mathcal{Y}。接著我們要證明 \mathcal{X}\cap\mathcal{Y}=\{\mathbf{0}\}。假設 \mathbf{x}\in\mathcal{X}\mathbf{x}\in\mathcal{Y},則 g(A)\mathbf{x}=\mathbf{0}h(A)\mathbf{x}=\mathbf{0}。再套用關鍵式,可得

\displaystyle  \mathbf{x}=p(A)g(A)\mathbf{x}+q(A)h(A)\mathbf{x}=\mathbf{0}

因為 \mathcal{V}=\mathcal{X}\oplus\mathcal{Y} 等價於 \mathcal{V}=\mathcal{X}+\mathcal{Y}\mathcal{X}\cap\mathcal{Y}=\{\mathbf{0}\} (見“補子空間與直和”),故得證。

 
定理一可以推廣至 f 分解為多個因式的情況。

 
定理二:令 f(t) 為一個多項式,且 A:\mathcal{V}\to\mathcal{V} 為滿足 f(A)=0 的線性算子。若

f(t)=(t-\lambda_1)^{\beta_1}\cdots(t-\lambda_r)^{\beta_r}

其中 \lambda_1,\ldots,\lambda_r 是相異根,則

\displaystyle  \mathcal{V}=\mathcal{X}_1\oplus\cdots\oplus\mathcal{X}_r

其中 \mathcal{X}_i(A-\lambda_iI)^{\beta_i} 的零空間,i=1,\ldots,r

證明採用歸納法。我們將 (t-\lambda_1)^{\beta_1},\ldots,(t-\lambda_r)^{\beta_r} 一個一個分解出來。令 \mathcal{X}_1(A-\lambda_1I)^{\beta_1} 的零空間,\mathcal{X}(A-\lambda_2I)^{\beta_2}\cdots(A-\lambda_rI)^{\beta_r} 的零空間。因為 (t-\lambda_1)^{\beta_1}(t-\lambda_2)^{\beta_2}\cdots(t-\lambda_r)^{\beta_r} 互質,根據定理一,\mathcal{V}=\mathcal{X}_1\oplus\mathcal{X}。因為 \mathcal{X} 是一個不變子空間,將線性算子 A 限定於子空間 \mathcal{X} 上,稱為限定算子 (restriction),以符號表示為 A_{/\mathcal{X}}:\mathcal{X}\rightarrow\mathcal{X} (見“利用循環子空間計算特徵多項式”)。繼續分解限定算子 A_{/\mathcal{X}} 所在的子空間 \mathcal{X},可得

\mathcal{X}=\mathcal{X}_2\oplus\cdots\oplus\mathcal{X}_r

其中 \mathcal{X}_j(A-\lambda_jI)^{\beta_j}\mathcal{X} 的零空間,j=2,\ldots,r,即有

\mathcal{V}=\mathcal{X}_1\oplus\mathcal{X}_2\oplus\cdots\oplus\mathcal{X}_r

 
現在我們回到齊次線性微分方程的求解問題:

\displaystyle  D^ny+a_{n-1}D^{n-1}y+\cdots+a_0y=0

提出所有微分算子,寫成多項式並分解因式:

\displaystyle  f(t)=t^n+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots+a_0=(t-\lambda_1)^{\beta_1}\cdots(t-\lambda_r)^{\beta_r}

套用定理二,以微分算子 D 取代線性算子 A,則微分方程的齊次解所形成的空間 (即向量空間 \mathcal{V}) 可分解為 (D-\lambda_iI)^{\beta_i}y=0i=1,\ldots,r,的解空間的直和。所以原始的微分方程化約為更簡單的標準形式:

(D-\lambda I)^\beta y=0

這樣做的好處是非常容易求出上式的解。定理三給出這個齊次微分方程的解空間基底,稱為解基 (solution basis)。

 
定理三:若 \lambda 為複數,\mathcal{X} 是微分方程 (D-\lambda I)^\beta y=0 的解空間,則 \dim\mathcal{X}=\beta 且下列函數構成 \mathcal{X} 的解基:

e^{\lambda t},te^{\lambda t},\ldots,t^{\beta-1}e^{\lambda t}

對於任一 \lambda,使用數學歸納法可證明[1]

(D-\lambda I)^\beta y=e^{\lambda t}D^\beta(e^{-\lambda t}y)

因此,y 屬於 (D-\lambda I)^\beta 的零空間等價於

D^\beta(e^{-\lambda t}y)=0

我們知道 \beta 次微分等於 0 的唯一函數型態是最高次數為 \beta-1 的多項式。換句話說,(D-\lambda I)^{\beta}y=0 的通解定可表示為 \{e^{\lambda t},te^{\lambda t},\ldots,t^{\beta-1}e^{\lambda t}\} 的線性組合。利用 Wronskian 行列式可證明這些函數組成線性獨立集,故為齊次微分方程解的解基 (見“利用行列式判斷線性獨立函數”)。

 
註解
[1] 若 \beta=1,則

\displaystyle  e^{\lambda t}D(e^{-\lambda t}y)=e^{\lambda t}(-\lambda e^{-\lambda t}y+e^{-\lambda t}Dy)=-\lambda Iy+Dy

\beta=k\ge 1,假設 \displaystyle  (D-\lambda I)^k y=e^{\lambda t}D^k(e^{-\lambda t}y)。使用上式,可得

\displaystyle\begin{aligned}  (D-\lambda I)^{k+1}y&=(D-\lambda I)\left(e^{\lambda t}D^k(e^{-\lambda t}y)\right)\\  &=D\left(e^{\lambda t}D^k(e^{-\lambda t}y)\right)-\lambda e^{\lambda t}D^k(e^{-\lambda t}y)\\  &=\lambda e^{\lambda t}D^k(e^{-\lambda t}y)+e^{\lambda t}D^{k+1}(e^{-\lambda t}y)-\lambda e^{\lambda t}D^k(e^{-\lambda t}y)\\  &=e^{\lambda t}D^{k+1}(e^{-\lambda t}y)  ,\end{aligned}

因此得證。

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