每週問題 July 22, 2013

Posted on 07/21/2013 by

這是有關可對角化矩陣的問題。

Let A be a 2\times 2 real matrix. If A^2=-I, show that A is diagonalizable.

 
參考解答：

考慮 A 的 Jordan 形式 J=M^{-1}AM，其中 M 是可逆矩陣。因為 A^2=-I，可得

J^2=M^{-1}A^2M=-M^{-1}M=-I。

假設 A 不可對角化，寫出 J=\begin{bmatrix} \lambda&1\\ 0&\lambda \end{bmatrix}=\lambda I+N，其中 N=\begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix}。據此，N^2=0，則有

J^2=(\lambda I+N)^2=\lambda^2I^2+2\lambda IN+N^2=\lambda^2I+2\lambda N。

比較上面兩式，可知 N=0 且 \lambda^2=-1，故 J 的形式如下：

J=\begin{bmatrix} \pm i&0\\ 0&\pm i \end{bmatrix}，

其中 i=\sqrt{-1}。換句話說，A 是可對角化矩陣。

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