每週問題 August 5, 2013

這是半正定矩陣的跡數不等式問題。

Let A, B be n \times n Hermitian and positive semidefinite. Show the following statements.
(a) \hbox{tr}(AB)\le(\hbox{tr}A)(\hbox{tr}B).
(b) \hbox{tr}(AB)\le\frac{1}{2}(\hbox{tr}(A^2)+\hbox{tr}(B^2)).

 
參考解答:

(a) 因為 A 是 Hermitian 半正定矩陣,故可對角化為 A=UDU^\ast,其中 D 是對角矩陣且 U^\ast=U^{-1}。寫出 AB=U(DU^\ast BU)U^\ast,即知 AB 相似於 DU^\ast BU,相似矩陣的跡數不變。另外,由於 U^\ast BU 為一 Hermitian 半正定矩陣,在不失一般性的原則下,可設 A 為一對角矩陣 A=\hbox{diag}(a_1,\ldots,a_n)a_i\ge 0i=1,\ldots,n。因為半正定矩陣 B=[b_{ij}] 的主對角元必不為負,故得

\displaystyle\begin{aligned}  \hbox{tr}(AB)&=a_1b_{11}+\cdots+a_nb_{nn}\\  &\le(a_1+\cdots+a_n)(b_{11}+\cdots+b_{nn})\\  &=(\hbox{tr}A)(\hbox{tr}B).\end{aligned}

(b) 寫出等式

\displaystyle  A^2+B^2-AB-BA=(A-B)^2

其中 (A-B)^2 是半正定矩陣。等號兩邊取跡數,

\displaystyle  \hbox{tr}(A^2+B^2-AB-BA)=\hbox{tr}(A^2)+\hbox{tr}(B^2)-2\hbox{tr}(AB)=\hbox{tr}((A-B)^2)\ge 0

故證得所求。

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