答perlpython──關於二階旋轉矩陣的對角化問題

網友perlpython留言:

老師,你好。我想請問一下,關於二維空間的旋轉矩陣。它在角度等於0度和180度時,分別會有eigenvalue = 1,-1,這是很直觀從圖形上就可以得到的結果。此外,當角度是其他度數時,很明顯eigenvalue是不存在的,在實數系上因而沒辦法對角化。然而,當討論的區域是複數系時,對於旋轉矩陣而言,它是有辦法對角化的嗎?因為我在課本上只讀到,複數系有機會對角化,只是我不知道從何下手去討論?或是有背後的理論知識,如果有專有名詞,懇請老師稍微點一下,謝謝,感激不盡。

 
答曰:

首先我們回顧通用的可對角化矩陣檢查方法。設 n\times n 階矩陣 A 有相異特徵值 \lambda_1,\ldots,\lambda_mm\le n。令 \beta_i 為對應特徵值 \lambda_i 的代數重數,r_i 為對應的指標 (index,即最大的 Jordan 分塊階數)。若以下任一等價條件成立,則 A 是可對角化矩陣 (證明推導請見“最小多項式 (下)”):

  1. 對於每一特徵值 \lambda_i,幾何重數都等於代數重數,即 \mathrm{dim}N(A-\lambda_i I)=\beta_i
  2. 對於每一特徵值 \lambda_i,對應指標皆為 r_i=1
  3. 矩陣 A 的 Jordan 形式的所有基本 Jordan 分塊階數等於 1
  4. 最小多項式為 m_A(t)= (t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_m)

 
考慮二階旋轉矩陣

\displaystyle  A=\left[\!\!\begin{array}{cr}  \cos\theta&-\sin\theta\\  \sin\theta&\cos\theta  \end{array}\!\!\right]

其中 \theta 是逆時針旋轉角度 (見“解讀複特徵值”)。寫出特徵多項式

\displaystyle  p_A(t)=\begin{vmatrix}  \cos\theta-t&-\sin\theta\\  \sin\theta&\cos\theta-t  \end{vmatrix}=t^2-2(\cos\theta)t+\cos^2\theta+\sin^2\theta=t^2-2(\cos\theta)t+1

由此可解得二根 e^{\pm i\theta}=\cos\theta\pm i\sin\theta,其中 i=\sqrt{-1}。令 k 代表任意整數。旋轉矩陣 A 可對角化嗎?下面分開三種情況討論:

  1. \theta=2k\pi,則 A=I 有相重特徵值 \lambda_1=1\lambda_2=1
  2. \theta=(2k+1)\pi,則 A=-I 有相重特徵值 \lambda_1=-1\lambda_2=-1
  3. \theta\neq 2k\pi\theta\neq(2k+1)\pi,則 A 有相異特徵值 \lambda_1=e^{i\theta}\lambda_2=e^{-i\theta}

第1,2種情況的 A 即為對角矩陣。考慮第3種情況,A 有相異 (共軛) 特徵值,意味 A 有二個線性獨立的特徵向量 (見“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”)。換句話說,對於每一特徵值,幾何重數皆等於代數重數,故 A 在複數系可對角化。對於 \lambda_1=e^{i\theta}\lambda_2=e^{-i\theta},歸一化 (長度為 1) 的特徵向量分別為

\displaystyle  \mathbf{x}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}  i\\  1  \end{bmatrix},~~~\mathbf{x}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\!\!\begin{array}{r}  -i\\  1  \end{array}\!\!\right]

所以旋轉矩陣 A 可對角化如下:

\displaystyle  A=\left[\!\!\begin{array}{cr}  \frac{i}{\sqrt{2}}&-\frac{i}{\sqrt{2}}\\[0.5em]  \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}  \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix}  e^{i\theta}&0\\  0&e^{-i\theta}  \end{bmatrix}\left[\!\!\begin{array}{cr}  \frac{i}{\sqrt{2}}&-\frac{i}{\sqrt{2}}\\[0.5em]  \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}  \end{array}\!\!\right]^{-1}

 
考慮 \mathbb{C}^2 的一組基底 \boldsymbol{\beta}=\{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\},旋轉矩陣 A 參考 \boldsymbol{\beta} 的表示矩陣即為

\displaystyle  [A]_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix}  e^{i\theta}&0\\  0&e^{-i\theta}  \end{bmatrix}

任一二維向量 \mathbf{x}=c_1\mathbf{x}_1+c_2\mathbf{x}_2 參考 \boldsymbol{\beta} 的座標向量是 [\mathbf{x}]_{\boldsymbol{\beta}}=(c_1,c_2)^T,旋轉後的向量 A\mathbf{x} 參考 \boldsymbol{\beta} 的座標向量則是

\displaystyle  [A\mathbf{x}]_{\boldsymbol{\beta}}=[A]_{\boldsymbol{\beta}}[\mathbf{x}]_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix}  c_1e^{i\theta}\\  c_2e^{-i\theta}  \end{bmatrix}

我們知道 e^{i\theta} 表示複數平面逆時針旋轉 \theta 角,因此在 A 的特徵向量構成的座標系統下,向量的旋轉等於座標向量成分的個別旋轉 (惟旋轉方向相反)。

 
另外,從二階旋轉矩陣的屬性亦可判定它是可對角化矩陣。因為 A^TA=AA^T=I,旋轉矩陣 A 是一實正交矩陣。任一實正交矩陣可么正對角化 (unitarily diagonalizable),也就是說,存在一么正矩陣 U (滿足 U^\ast U=UU^\ast=I) 使得 A=U\Lambda U^\ast,其中 \Lambda 為一對角矩陣 (見“特殊矩陣 (3):么正矩陣 (酉矩陣)”)。

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