每週問題 August 12, 2013

本週問題是證明共軛轉置的行列式等於行列式的共軛。

Let A be an n\times n matrix. Show that \det A^\ast=\overline{\det A}.

 
參考解答:

考慮萊布尼茲行列式公式

\displaystyle  \det A=\sum_{p}\sigma(p)a_{p_11}a_{p_22}\cdots a_{p_nn}

其中 p=(p_1,p_2,\ldots,p_n) 是數組 (1,2,\ldots,n) 的排列 (permutation,或稱置換),總共有 n! 種可能。函數 \sigma(p) 是排列 p 的符號差 (sign) 或稱簽名 (signature): \sigma(p)=1p 包含偶數個換位,\sigma(p)=-1p 包含奇數個換位。利用性質 \overline{z_1z_2}=\overline{z}_1\overline{z}_2\overline{z_1+z_2}=\overline{z}_1+\overline{z}_2,可得

\displaystyle\begin{aligned}  \det A^\ast&=\det \overline{A}^T=\det \overline{A}\\  &=\sum_{p}\sigma(p)\overline{a_{p_11}}\cdots \overline{a_{p_nn}}\\  &=\sum_{p}\sigma(p)\overline{a_{p_11}\cdots a_{p_nn}}\\  &=\overline{\sum_{p}\sigma(p)a_{p_11}\cdots a_{p_nn}}=\overline{\det A}.  \end{aligned}

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