平行四邊形恆等式

本文的閱讀等級:中級

\mathcal{V} 為一內積空間。若 \mathbf{v}\in\mathcal{V} 的向量範數 (長度) 由內積定義,\Vert\mathbf{v}\Vert=\sqrt{\left\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\right\rangle},則有平行四邊形恆等式 (parallelogram identity),即任意 \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathcal{V} 滿足

\Vert\mathbf{x}+\mathbf{y}\Vert^2+\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert^2=2\left(\Vert\mathbf{x}\Vert^2+\Vert\mathbf{y}\Vert^2\right)

使用內積性質便可證明 (“內積的定義”),如下:

\displaystyle\begin{aligned}  \Vert\mathbf{x}+\mathbf{y}\Vert^2+\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert^2&=\left\langle\mathbf{x}+\mathbf{y},\mathbf{x}+\mathbf{y}\right\rangle+\left\langle\mathbf{x}-\mathbf{y},\mathbf{x}-\mathbf{y}\right\rangle\\  &=\left\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\right\rangle+\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle+\left\langle\mathbf{y},\mathbf{x}\right\rangle+\left\langle\mathbf{y},\mathbf{y}\right\rangle+\left\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\right\rangle-\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle-\left\langle\mathbf{y},\mathbf{x}\right\rangle+\left\langle\mathbf{y},\mathbf{y}\right\rangle\\  &=\Vert\mathbf{x}\Vert^2+\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle+\overline{\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle}+\Vert\mathbf{y}\Vert^2+\Vert\mathbf{x}\Vert^2-\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle-\overline{\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle}+\Vert\mathbf{y}\Vert^2\\  &=2\left(\Vert\mathbf{x}\Vert^2+\Vert\mathbf{y}\Vert^2\right).\end{aligned}

平行四邊形恆等式的命名來自當 \mathcal{V}=\mathbb{R}^2,如果採用歐氏範數,一個平行四邊形的兩條對角線長度的平方和等於它四邊長度的平方和 (見下圖)。反過來講,若平行四邊形恆等式成立,賦範向量空間 (定義了向量範數的向量空間) \mathcal{V} 必然是一內積空間嗎?答案是肯定的,下面將詳細說明。

Parallelogram identity

平行四邊形恆等式

 
首先回顧賦範向量空間和內積空間的定義 (見“向量範數”)。若向量空間 \mathcal{V} 具有定義良好的範數,我們稱之為賦範向量空間。向量範數 \Vert\cdot\Vert 是一從向量空間 \mathcal{V} 映至 \mathbb{R} 的函數,滿足下列性質:

(N1) 對於 \mathbf{x}\in\mathcal{V}\Vert\mathbf{x}\Vert\ge 0\Vert\mathbf{x}\Vert=0 僅成立於 \mathbf{x}=\mathbf{0}

(N2) 對於任一純量 c\mathbf{x}\in\mathcal{V}\Vert c\mathbf{x}\Vert=\vert c\vert \Vert \mathbf{x}\Vert

(N3) 若 \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathcal{V},則 \Vert \mathbf{x}+\mathbf{y}\Vert\le\Vert\mathbf{x}\Vert+\Vert\mathbf{y}\Vert

我們稱向量空間 \mathcal{V} 為一內積空間,若內積 \left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle 為二向量 \mathbf{x}\mathbf{y} 的數值函數,並滿足下列四個性質:

(I1) \left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle=\overline{\left\langle\mathbf{y},\mathbf{x}\right\rangle}

(I2) \left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}+\mathbf{z}\right\rangle=\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle+\left\langle\mathbf{x},\mathbf{z}\right\rangle

(I3) \left\langle\mathbf{x},c\mathbf{y}\right\rangle=c\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle

(I4) \left\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\right\rangle\ge 0,且 \left\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\right\rangle=0 僅成立於 \mathbf{x}=\mathbf{0}

下面分開討論佈於實數系和複數系的向量空間[1]

 
實向量空間

假設佈於實數系的向量空間 \mathcal{V} 的向量範數 \Vert\cdot\Vert 滿足平行四邊形恆等式,我們證明

\displaystyle  \left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle=\frac{1}{4}\left(\Vert\mathbf{x}+\mathbf{y}\Vert^2-\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert^2\right)

為一內積。

(I4):因為 \left\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\right\rangle=\Vert\mathbf{x}\Vert^2,使用 (N1) 可知 \left\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\right\rangle\ge 0\left\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\right\rangle=0 僅發生於 \mathbf{x}=\mathbf{0}

(I1):因為 \mathbf{x}\mathbf{y} 是實向量,\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle=\left\langle\mathbf{y},\mathbf{x}\right\rangle 是實數,故 \left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle=\overline{\left\langle\mathbf{y},\mathbf{x}\right\rangle}

(I2):使用平行四邊形恆等式,

\displaystyle\begin{aligned}  \Vert\mathbf{x}+\mathbf{y}\Vert^2+\Vert\mathbf{x}+\mathbf{z}\Vert^2&=\frac{1}{2}\left(\Vert\mathbf{x}+\mathbf{y}+\mathbf{x}+\mathbf{z}\Vert^2+\Vert\mathbf{y}-\mathbf{z}\Vert^2\right)\\  \Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert^2+\Vert\mathbf{x}-\mathbf{z}\Vert^2&=\frac{1}{2}\left(\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}+\mathbf{x}-\mathbf{z}\Vert^2+\Vert\mathbf{z}-\mathbf{y}\Vert^2\right).\end{aligned}

兩式相減,使用 (N2) 可得

\displaystyle\begin{aligned}  \Vert\mathbf{x}+\mathbf{y}\Vert^2-\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert^2+\Vert\mathbf{x}+\mathbf{z}\Vert^2-\Vert\mathbf{x}-\mathbf{z}\Vert^2&=\frac{1}{2}\left(\Vert2\mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})\Vert^2-\Vert2\mathbf{x}-(\mathbf{y}+\mathbf{z})\Vert^2\right)\\  &=2\left(\left\|\mathbf{x}+\frac{\mathbf{y}+\mathbf{z}}{2}\right\|^2-\left\|\mathbf{x}-\frac{\mathbf{y}+\mathbf{z}}{2}\right\|^2\right)  .\end{aligned}

套入 \left\langle,\right\rangle 的定義式,

\displaystyle\begin{aligned}  \left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle+\left\langle\mathbf{x},\mathbf{z}\right\rangle&=\frac{1}{4}\left(\Vert\mathbf{x}+\mathbf{y}\Vert^2-\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert^2+\Vert\mathbf{x}+\mathbf{z}\Vert^2-\Vert\mathbf{x}-\mathbf{z}\Vert^2\right)\\  &=\frac{1}{2}\left(\left\|\mathbf{x}+\frac{\mathbf{y}+\mathbf{z}}{2}\right\|^2-\left\|\mathbf{x}-\frac{\mathbf{y}+\mathbf{z}}{2}\right\|^2\right)\\  &=2\left\langle\mathbf{x},\frac{\mathbf{y}+\mathbf{z}}{2}\right\rangle  .\end{aligned}

\mathbf{z}=\mathbf{0},上式化簡為 \left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle=2\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}/2\right\rangle。再以 \mathbf{y}+\mathbf{z} 取代 \mathbf{y},可得 \left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}+\mathbf{z}\right\rangle=2\left\langle\mathbf{x},(\mathbf{y}+\mathbf{z})/2\right\rangle,故 \left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle+\left\langle\mathbf{x},\mathbf{z}\right\rangle=\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}+\mathbf{z}\right\rangle

(I3):若 c 是一整數,連續使用 (I2) 可得 \left\langle\mathbf{x},c\mathbf{y}\right\rangle=c\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle。若 c 是一有理數,記為 c=a/b,其中 a,b 是整數,b\neq 0,則

\displaystyle  b^2\left\langle\mathbf{x},\frac{a}{b}\mathbf{y}\right\rangle=b\left\langle\mathbf{x},a\mathbf{y}\right\rangle=ab\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle

上式通除以 b^2,立得 \left\langle\mathbf{x},\frac{a}{b}\mathbf{y}\right\rangle=\frac{a}{b}\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle。最後考慮 c 是實數的情況,寫出

\displaystyle  \left\langle\mathbf{x},c\mathbf{y}\right\rangle=\frac{1}{4}\left(\Vert\mathbf{x}+c\mathbf{y}\Vert^2-\Vert\mathbf{x}-c\mathbf{y}\Vert^2\right)

因為 \Vert\mathbf{x}+c\mathbf{y}\Vert\Vert\mathbf{x}-c\mathbf{y}\Vertc 的連續函數,可知 \left\langle\mathbf{x},c\mathbf{y}\right\rangle 也是 c 的一連續函數。若 c 是一無理數,設 \{c_k\} 為一有理數數列使得 c_k\to c,則 \left\langle\mathbf{x},c_k\mathbf{y}\right\rangle\to \left\langle\mathbf{x},c\mathbf{y}\right\rangle\left\langle\mathbf{x},c_k\mathbf{y}\right\rangle=c_k\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle\to c\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle,故 \left\langle\mathbf{x},c\mathbf{y}\right\rangle=c\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle

 
複向量空間

假設佈於複數系的向量空間 \mathcal{V} 的向量範數 \Vert\cdot\Vert 滿足平行四邊形恆等式。令

\displaystyle  [\mathbf{x},\mathbf{y}]=\frac{1}{4}\left(\Vert\mathbf{x}+\mathbf{y}\Vert^2-\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert^2\right)

我們證明

\displaystyle  \left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle=[\mathbf{x},\mathbf{y}]+i[i\mathbf{x},\mathbf{y}]

為一內積,其中 i=\sqrt{-1}

(I4):利用 (N2) 可得

\displaystyle \Vert i\mathbf{x}+\mathbf{x}\Vert=\vert\!-i\vert\Vert i\mathbf{x}+\mathbf{x}\Vert=\Vert\mathbf{x}-i\mathbf{x}\Vert=\Vert i\mathbf{x}-\mathbf{x}\Vert

[i\mathbf{x},\mathbf{x}]=0。又因為 [\mathbf{x},\mathbf{x}]=\Vert\mathbf{x}\Vert^2,所以 \left\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\right\rangle=[\mathbf{x},\mathbf{x}]+i[i\mathbf{x},\mathbf{x}]=\Vert\mathbf{x}\Vert^2。使用 (N1) 可知 \left\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\right\rangle\ge 0\left\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\right\rangle=0 僅發生於 \mathbf{x}=\mathbf{0}

(I1):因為 [\mathbf{x},\mathbf{y}]=[\mathbf{y},\mathbf{x}][\mathbf{x},-\mathbf{y}]=-[\mathbf{x},\mathbf{y}][i\mathbf{x},i\mathbf{y}]=[\mathbf{x},\mathbf{y}],即知

\displaystyle  \left[i\mathbf{y},\mathbf{x}\right]=[i\mathbf{y},-i^2\mathbf{x}]=[\mathbf{y},-i\mathbf{x}]=-[\mathbf{y},i\mathbf{x}]=-[i\mathbf{x},\mathbf{y}]

使用以上結果,

\displaystyle  \left\langle\mathbf{y},\mathbf{x}\right\rangle=[\mathbf{y},\mathbf{x}]+i[i\mathbf{y},\mathbf{x}]=[\mathbf{x},\mathbf{y}]-i[i\mathbf{x},\mathbf{y}]=\overline{\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle}

(I2):沿用實向量空間 (I2) 的證法可得 [\mathbf{x},\mathbf{y}+\mathbf{z}]=[\mathbf{x},\mathbf{y}]+[\mathbf{x},\mathbf{z}],因此

\displaystyle\begin{aligned}  \left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}+\mathbf{z}\right\rangle&=[\mathbf{x},\mathbf{y}+\mathbf{z}]+i[i\mathbf{x},\mathbf{y}+\mathbf{z}]\\  &=[\mathbf{x},\mathbf{y}]+[\mathbf{x},\mathbf{z}]+i[i\mathbf{x},\mathbf{y}]+i[i\mathbf{x},\mathbf{z}]\\  &=\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle+\left\langle\mathbf{x},\mathbf{z}\right\rangle  .\end{aligned}

(I3):若 c 是實數,重複實向量空間 (I3) 的證法可得 [\mathbf{x},c\mathbf{y}]=c[\mathbf{x},\mathbf{y}],故

\displaystyle  \left\langle\mathbf{x},c\mathbf{y}\right\rangle=[\mathbf{x},c\mathbf{y}]+i[i\mathbf{x},c\mathbf{y}]=c[\mathbf{x},\mathbf{y}]+ic[i\mathbf{x},\mathbf{y}]=c\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle

c=i,利用 (I1) 得到的關係式,

\displaystyle\begin{aligned}  \left\langle\mathbf{x},i\mathbf{y}\right\rangle&=[\mathbf{x},i\mathbf{y}]+i[i\mathbf{x},i\mathbf{y}]=[i\mathbf{y},\mathbf{x}]+i[\mathbf{x},\mathbf{y}]\\  &=-[i\mathbf{x},\mathbf{y}]+i[\mathbf{x},\mathbf{y}]=i\left([\mathbf{x},\mathbf{y}]+i[i\mathbf{x},\mathbf{y}]\right)=i\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle.\end{aligned}

c=a+iba,b\in\mathbb{R},則

\displaystyle  \left\langle\mathbf{x},c\mathbf{y}\right\rangle=\left\langle\mathbf{x},a\mathbf{y}+ib\mathbf{y}\right\rangle=\left\langle\mathbf{x},a\mathbf{y}\right\rangle+\left\langle\mathbf{x},ib\mathbf{y}\right\rangle=a\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle+ib\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle=c\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle

 
最後要強調:除了歐氏範數,內積空間無法產生其他的向量 p-範數。原因在於,除了歐氏範數,平行四邊形恆等式於其他 p-範數 (p\neq 2) 未必成立,也就是說,對於任意 \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{C}^n\Vert\mathbf{x}+\mathbf{y}\Vert_p^2+\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert^2_p=2(\Vert\mathbf{x}\Vert^2_p+\Vert\mathbf{y}\Vert^2_p) 不恆為真。譬如,當 \mathbf{x}=\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2,其中 \mathbf{e}_i 是第 i 元等於 1 的標準單位向量,我們可以得到 \Vert\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2\Vert^2_p=\Vert\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2\Vert^2_p=2^{2/p},就有 \Vert\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2\Vert^2_p+\Vert\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2\Vert^2_p=2^{(p+2)/p},但 2(\Vert\mathbf{e}_1\Vert^2_p+\Vert\mathbf{e}_2\Vert^2_p)=4。等式 (p+2)/p=2 僅成立於 p=2

 
參考來源:
[1] Carl Meyer 所著 Matrix Analysis and Applied Linear Algebra,2000出版,頁290-293。

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