每週問題 August 19, 2013

這是 Jordan 典型形式的相似證明問題。

Let

$A=\begin{bmatrix} \lambda&1&c\\ 0&\lambda&1\\ 0&0&\lambda \end{bmatrix}~~~\textrm{and}~~~B=\begin{bmatrix} \lambda&1&0\\ 0&\lambda&1\\ 0&0&\lambda \end{bmatrix},$

where $c\neq 0$ . Show that $A$ is similar to $B$ .

參考解答：

我們的目標是設法找出一可逆矩陣 $P$ 使得 $PAP^{-1}=B$ 。觀察發現 $A$ 和 $B$ 有相同的領先二階主子陣，故可設

$P=\begin{bmatrix} 1&0&x\\ 0&1&y\\ 0&0&1 \end{bmatrix}$ 。

計算相似變換：

$\begin{aligned} PAP^{-1}&=\begin{bmatrix} 1&0&x\\ 0&1&y\\ 0&0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \lambda&1&c\\ 0&\lambda&1\\ 0&0&\lambda \end{bmatrix}\left[\!\!\begin{array}{ccr} 1&0&-x\\ 0&1&-y\\ 0&0&1 \end{array}\!\!\right]\\ &=\begin{bmatrix} 1&0&x\\ 0&1&y\\ 0&0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \lambda&1&-\lambda x-y+c\\ 0&\lambda&-\lambda y+1\\ 0&0&\lambda \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} \lambda&1&-y+c\\ 0&\lambda&1\\ 0&0&\lambda \end{bmatrix}.\end{aligned}$

令 $x$ 為任一數且 $y=c$ ，即得 $PAP^{-1}=B$ ，因此證明 $A$ 相似於 $B$ 。

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