答LCB──關於矩陣乘積的逆矩陣、轉置與共軛轉置的形式

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请问老师,

\displaystyle\begin{aligned}  (AB)^{-1}&=B^{-1}A^{-1}\\  (AB)^{T}&={B}^{T}{A}^{T}\\  (AB)^{\ast}&=B^\ast A^\ast\end{aligned}

(A and B are well defined.) 关于这三个公式,有没有更本质的规律蕴含在里面?

 
答曰:

從外表來看,矩陣乘積 AB 的逆矩陣、轉置與共軛轉置具有相同的換位乘法形式。直白地說,這是矩陣運算定義的必然結果。給定一 n\times n 階矩陣 A,逆矩陣 A^{-1} 滿足

A^{-1}A=AA^{-1}=I

其中 In\times n 階單位矩陣。方陣的逆矩陣 (如果存在的話) 具有唯一性,而且左逆等於右逆。使用矩陣乘法結合律,可得

(B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}IB=B^{-1}B=I

故證明 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}。設 A=[a_{ij}]B=[b_{ij}] 可乘。使用轉置定義:(A^T)_{ij}=a_{ji}

\displaystyle  (AB)^T_{ij}=(AB)_{ji}=\sum_{k}a_{jk}b_{ki}=\sum_{k}(B^T)_{ik}(A^T)_{kj}=(B^TA^T)_{ij}

即得 (AB)^T=B^TA^T。類似地,使用共軛轉置定義:(A^\ast)_{ij}=\overline{a_{ji}}

\displaystyle  (AB)^{\ast}_{ij}=(\overline{AB})_{ji}=\sum_{k}\overline{a_{jk}}~\overline{b_{ki}}=\sum_{k}(B^\ast)_{ik}(A^\ast)_{kj}=(B^\ast A^\ast)_{ij}

故得 (AB)^\ast=B^\ast A^\ast

 
上述三個公式是否蘊含「更本質的規律」呢?我預想抄寫這些課本記載的內容恐怕不怎麼能夠振奮人心,所以另外又準備了一套說辭。如果我們接受所謂「更本質的規律」是指定義蘊含或衍生的模式,那麼改寫定義可能是揭開換位乘法面紗最有效的途徑。

 
給定一 n\times n 階矩陣 A,若

\displaystyle  A^{-1}\mathbf{y}=\mathbf{x}\Leftrightarrow \mathbf{y}=A\mathbf{x}

其中 \mathbf{x}\mathbf{y} 是滿足等式的任何 n 維向量,則 A^{-1} 稱為 A 的逆矩陣。對 AB 連續使用三次定義,可得

\displaystyle\begin{aligned}  (AB)^{-1}\mathbf{y}=\mathbf{x}&\Leftrightarrow\mathbf{y}=(AB)\mathbf{x}\\  &\Leftrightarrow A^{-1}\mathbf{y}=B\mathbf{x}\\  &\Leftrightarrow B^{-1}A^{-1}\mathbf{y}=\mathbf{x}.\end{aligned}

因為 \mathbf{x} (或 \mathbf{y}) 是任意向量,(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}

 
給定一 m\times n 階矩陣 A,對於任何 \mathbf{x}\in\mathbb{C}^n\mathbf{y}\in\mathbb{C}^m,若

\displaystyle  \mathbf{x}^\ast(A^{\ast}\mathbf{y})=(A\mathbf{x})^\ast\mathbf{y}

n\times m 階矩陣 A^{\ast} 稱為 A 的伴隨 (adjoint) 或共軛轉置 (見“轉置矩陣的意義”,“線性泛函與伴隨”)。對 AB 連續使用三次定義,可得

\displaystyle\begin{aligned}  \mathbf{x}^\ast((AB)^{\ast}\mathbf{y})&=((AB)\mathbf{x})^\ast\mathbf{y}\\  &=(B\mathbf{x})^\ast(A^\ast\mathbf{y})\\  &=\mathbf{x}^\ast(B^\ast A^\ast\mathbf{y}).\end{aligned}

因為 \mathbf{x}\mathbf{y} 是任意向量,(AB)^\ast=B^\ast A^\ast。將推導過程的複數改成實數,共軛轉置矩陣即替換為轉置矩陣。

 
在數學中,定義主宰我們對於概念的想像,對形式的刻劃,甚至建構敘事框架。逆矩陣與 (共軛) 轉置的新定義或許不具直觀,含混難解,缺少傳統定義的極簡主義美感,但它們凸顯了一個共同的模式──換位。採用新定義來推導矩陣乘積的運算公式的優點是,它讓我們得以一種貼近視覺化方式觀察換位乘法的生成過程。

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