每週問題 September 2, 2013

這是與反對稱 (anti-symmetric 或 skew-symmetric) 矩陣有關的問題。

Let K be a skew-symmetric matrix with real entries.
(a) Show that I-K is nonsingular.
(b) If A=(I+K)(I-K)^{-1}, show that A is an orthogonal matrix, i.e., A^T=A^{-1}.

 
參考解答:

(a) 我們要證明 I-K 的零空間僅含零向量。考慮 (I-K)\mathbf{x}=\mathbf{0},即 \mathbf{x}=K\mathbf{x}。等號兩邊同時左乘 \mathbf{x}^T,就有 \mathbf{x}^T\mathbf{x}=\mathbf{x}^TK\mathbf{x}。取轉置並利用 K^T=-K,可得 \mathbf{x}^T\mathbf{x}=-\mathbf{x}^TK\mathbf{x}。合併上面結果,\mathbf{x}^T\mathbf{x}=0,故可推論 \mathbf{x}=\mathbf{0}

(b) 利用 B(I-B)^{-1}=(I-B)^{-1}B

\displaystyle\begin{aligned}  A&=(I+K)(I-K)^{-1}=(I-K)^{-1}+K(I-K)^{-1}\\  &=(I-K)^{-1}+(I-K)^{-1}K=(I-K)^{-1}(I+K).\end{aligned}

所以,

\displaystyle\begin{aligned}  A^{-1}&=(I-K)(I+K)^{-1}=(I+K)^T((I-K)^T)^{-1}\\  &=(I+K)^T((I-K)^{-1})^T=((I-K)^{-1}(I+K))^T=A^T.\end{aligned}

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2 則回應給 每週問題 September 2, 2013

  1. a 說道:

    我們要證明 I-K 的零空間僅含零向量
    請問一下 這個題目有說明嗎 怎會突然跑出一個0空間 含0向量呢
    不是只有證明可逆而已嗎

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