## 線性代數在數值分析的應用 (二)：Dirichlet 問題

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}=\alpha\nabla^2u$

$\displaystyle \nabla^2u=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}$

\displaystyle\begin{aligned} \left.\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\right|_{(x_i,y_j)}&=\frac{u(x_i-h,y_j)-2u(x_i,y_j)+u(x_i+h,y_j)}{h^2}+O(h^2)\\ \left.\frac{\partial^2u}{\partial y^2}\right|_{(x_i,y_j)}&=\frac{u(x_i,y_j-h)-2u(x_i,y_j)+u(x_i,y_j+h)}{h^2}+O(h^2).\end{aligned}

$\displaystyle 4u_{ij}=u_{i-1,j}+u_{i+1,j}+u_{i,j-1}+u_{i,j+1}+O(h^4),~~~i,j=1,2,\ldots,n$

$\displaystyle 4u_{ij}-(u_{i-1,j}+u_{i+1,j}+u_{i,j-1}+u_{i,j+1})=0,~~~i,j=1,2,\ldots,n$

$\displaystyle \left[\!\!\begin{array}{rrr} 0&-1&0\\ -1&4&-1\\ 0&-1&0 \end{array}\!\!\right]$

$(i,j)$ 為邊界指標，則 $u_{i,j}=c_{i,j}$，其中 $c_{i,j}=c(x_i,y_j)$。我們可以將 Laplace 方程組以矩陣表示為 $L\mathbf{u}=\mathbf{b}$，其中 $L$ 是一 $n^2\times n^2$ 矩陣，$\mathbf{u}$$\mathbf{b}$$n^2$ 維向量。以 $n=3$ 為例，

$\displaystyle \left[\!\!\begin{array}{rrrcrrrcrrr} 4&-1&0&\vline&-1&0&0&\vline&0&0&0\\ -1&4&-1&\vline&0&-1&0&\vline&0&0&0\\ 0&-1&4&\vline&0&0&-1&\vline&0&0&0\\ \hline -1&0&0&\vline&4&-1&0&\vline&-1&0&0\\ 0&-1&0&\vline&-1&4&-1&\vline&0&-1&0\\ 0&0&-1&\vline&0&-1&4&\vline&0&0&-1\\\hline 0&0&0&\vline&-1&0&0&\vline&4&-1&0\\ 0&0&0&\vline&0&-1&0&\vline&-1&4&-1\\ 0&0&0&\vline&0&0&-1&\vline&0&-1&4 \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} u_{11}\\ u_{12}\\ u_{13}\\ \hline u_{21}\\ u_{22}\\ u_{23}\\ \hline u_{31}\\ u_{32}\\ u_{33} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} c_{01}+c_{10}\\ c_{02}\\ c_{03}+c_{14}\\ \hline c_{20}\\ 0\\ c_{24}\\ \hline c_{30}+c_{41}\\ c_{42}\\ c_{43}+c_{34} \end{bmatrix}$

$\displaystyle L=\begin{bmatrix} A&-I&&&\\ -I&A&-I&&\\ &\ddots&\ddots&\ddots&\\ &&-I&A&-I\\ &&&-I&A \end{bmatrix}$

$\displaystyle A=\left[\!\!\begin{array}{rrcrr} 4&-1&&&\\ -1&4&-1&&\\ &\ddots&\ddots&\ddots&\\ &&-1&4&-1\\ &&&-1&4 \end{array}\!\!\right]$

$\displaystyle \lambda_i=4-2\cos\left(\frac{i\pi}{n+1}\right),~~~i=1,2,\ldots,n$

$\displaystyle U=\begin{bmatrix} Q&0&\cdots&0\\ 0&Q&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&Q \end{bmatrix}$

$\displaystyle U^TLU=\begin{bmatrix} D&-I&&&\\ -I&D&-I&&\\ &\ddots&\ddots&\ddots&\\ &&-I&D&-I\\ &&&-I&D \end{bmatrix}=B$

$\displaystyle P^TBP=\begin{bmatrix} M_1&0&\cdots&0\\ 0&M_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&M_n \end{bmatrix}=M$

$\displaystyle M_i=\begin{bmatrix} \lambda_i&-1&&&\\ -1&\lambda_i&-1&&\\ &\ddots&\ddots&\ddots&\\ &&-1&\lambda_i&-1\\ &&&-1&\lambda_i \end{bmatrix},~~~i=1,2,\ldots,n$

$n=3$ 為例，$P$ 對應排列

$\pi=\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ 1&4&7&2&5&8&3&6&9 \end{pmatrix}$

$\displaystyle P=\begin{bmatrix} 1&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&1&0&0\\ 0&1&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&1&0\\ 0&0&1&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&1 \end{bmatrix}$

$\displaystyle \lambda_{ij}=4-2\left(\cos\left(\frac{i\pi}{n+1}\right)+\cos\left(\frac{j\pi}{n+1}\right)\right),~~~i,j=1,2,\ldots,n$

$\displaystyle \lambda_{ij}=4\left(\sin^2\left(\frac{i\pi}{2n+2}\right)+\sin^2\left(\frac{j\pi}{2n+2}\right)\right),~~~i,j=1,2,\ldots,n$

[1] 維基百科：Heat eqaution
[2] Carl D. Meyer 所著 Matrix Analysis and Applied Linear Algebra，2001，頁 563-565。

### 2 Responses to 線性代數在數值分析的應用 (二)：Dirichlet 問題

1. wonderlandtommy 說道：

版主好，
我正在操作三維的離散Laplacian,請問求三維Laplacian的特徵值時應該將三階張量降維矩陣嗎？謝謝版主

• ccjou 說道：