每週問題 September 9, 2013

這是判斷子空間的練習問題。

Let \mathbb{R}^{n\times n} denote the vector space formed by all n\times n real matrices. Determine which of the following subsets of \mathbb{R}^{n\times n} are in fact subspaces of \mathbb{R}^{n\times n}.

(a) The diagonal matrices.
(b) The symmetric matrices.
(c) The nonsingular matrices.
(d) The singular matrices.
(e) The triangular matrices.
(f) The lower-triangular matrices.
(g) The idempotent matrices, i.e., A^2=A.
(h) The orthogonal matrices, i.e., A^{-1}=A^T.
(i) All matrices with zero trace.
(j) All matrices that commute with a given matrix A.

 
參考解答:

子空間必須滿足矩陣加法與純量乘法封閉性。以 (c) 為例,若 AB 可逆,但 A+B 未必可逆,譬如 B=-A,故可逆矩陣不構成一個子空間。以 (j) 為例,若 AB=BAAC=CA\alpha 為實數,則 A(B+C)=AB+AC=BA+CA=(B+C)AA(\alpha B)=\alpha(AB)=\alpha(BA)=(\alpha B)A,故所有與 A 可交換的矩陣構成一個子空間。下列矩陣集合形成子空間:(a),(b),(f),(i),(j)。

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