每週問題 September 16, 2013

這是關於矩陣是否存在 LU 分解的判別問題。

Determine all values of a for which A=\begin{bmatrix}  a&1&0\\  2&a&1\\  0&1&a  \end{bmatrix} has an LU factorization.

 
參考解答:

n\times n 階矩陣 A 的所有 k\times k 階領先主子陣 (leading principal submatrix) A_k 都可逆,則存在 LU 分解。證明採用歸納法。若 k=1,明顯地,若 A_1=[a_{11}] 可逆,a_{11}\neq 0A_1=[1][a_{11}] 即為 LU 分解式。假設 k\times k 階領先主子陣 A_k 可逆並有 LU 分解 A_k=L_kU_k,將 (k+1)\times(k+1) 階領先主子陣 A_{k+1} 表示為 A_{k+1}=\begin{bmatrix}  A_k&\mathbf{b}\\  \mathbf{c}^T&d  \end{bmatrix},其中 \mathbf{b}\mathbf{c}k 維向量,d 是一純量。寫出

A_{k+1}=\begin{bmatrix}  A_k&\mathbf{b}\\  \mathbf{c}^T&d  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  L_k&\mathbf{0}\\  \mathbf{x}^T&1  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  U_k&\mathbf{y}\\  \mathbf{0}^T&z  \end{bmatrix}

乘開右項,比較等號兩邊可得

\mathbf{b}=L_k\mathbf{y},~~\mathbf{c}^T=\mathbf{x}^TU_k,~~d=\mathbf{x}^T\mathbf{y}+z

上式可解出 \mathbf{y}=L_k^{-1}\mathbf{b}\mathbf{x}^T=\mathbf{c}^TU_k^{-1}z=d-\mathbf{x}^T\mathbf{y}=d-\mathbf{c}^TU_k^{-1}L_k^{-1}\mathbf{b}=\mathbf{c}^TA_k^{-1}\mathbf{b},就有 A_{k+1}=L_{k+1}U_{k+1},其中

L_{k+1}=\begin{bmatrix}  L_k&\mathbf{0}\\  \mathbf{c}^TU_{k}^{-1}&1  \end{bmatrix},~U_{k+1}=\begin{bmatrix}  U_k&L_k^{-1}\mathbf{b}\\  \mathbf{0}^T&d-\mathbf{c}^TA_{k}^{-1}\mathbf{b}  \end{bmatrix}

因為 A_{k+1}L_{k+1} 可逆,故知 U_{k+1}=A^{-1}_{k+1}L_{k+1} 亦可逆,推論 d-\mathbf{c}^TA_k^{-1}\mathbf{b}\neq 0。歸納得知 A=A_n 有 LU 分解 A=L_nU_n

 
此題若

\displaystyle  A_1=\begin{bmatrix}  a  \end{bmatrix},~~A_2=\begin{bmatrix}  a&1\\  2&a  \end{bmatrix},~~A_3=\begin{bmatrix}  a&1&0\\  2&a&1\\  0&1&a  \end{bmatrix}

可逆,則 A 有 LU 分解。計算行列式,可得 \det  A_1=a\det A_2=a^2-2\det A_3=a^3-3a。所以,A 有 LU 分解的條件是 a 不等於 0, \pm\sqrt{2}, \pm\sqrt{3}

廣告
本篇發表於 pow 線性方程與矩陣代數, 每週問題 並標籤為 。將永久鏈結加入書籤。

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

您的留言將使用 WordPress.com 帳號。 登出 / 變更 )

Twitter picture

您的留言將使用 Twitter 帳號。 登出 / 變更 )

Facebook照片

您的留言將使用 Facebook 帳號。 登出 / 變更 )

Google+ photo

您的留言將使用 Google+ 帳號。 登出 / 變更 )

連結到 %s