每週問題 September 23, 2013

這是通過零空間證明一特殊分塊矩陣的可逆性。

Let A=\begin{bmatrix}  P\\  Q  \end{bmatrix} be an n\times n real matrix. If N(P)=C(Q^T), show that A is nonsingular. Note that N(P) is the nullspace of P and C(Q^T) is the column space of Q^T.

 
參考解答:

對於 \mathbf{x}\in N(A),若能證明 \mathbf{x}=\mathbf{0},即可推論 A 是一可逆矩陣。假設 A\mathbf{x}=\mathbf{0},則 P\mathbf{x}=\mathbf{0}Q\mathbf{x}=\mathbf{0},也就是說,\mathbf{x}\in N(P)\mathbf{x}\in N(Q)。因為 N(P)=C(Q^T),可知存在 \mathbf{y} 使得 \mathbf{x}=Q^T\mathbf{y},即有 \mathbf{x}^T=\mathbf{y}^TQ。上式右乘 \mathbf{x},可得 \mathbf{x}^T\mathbf{x}=\mathbf{y}^TQ\mathbf{x}=\mathbf{y}^T\mathbf{0}=0,故 \Vert\mathbf{x}\Vert^2=0,推論 \mathbf{x}=\mathbf{0}

Advertisements
本篇發表於 pow 向量空間, 每週問題 並標籤為 , , 。將永久鏈結加入書籤。

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

您的留言將使用 WordPress.com 帳號。 登出 / 變更 )

Twitter picture

您的留言將使用 Twitter 帳號。 登出 / 變更 )

Facebook照片

您的留言將使用 Facebook 帳號。 登出 / 變更 )

Google+ photo

您的留言將使用 Google+ 帳號。 登出 / 變更 )

連結到 %s