複數的矩陣表示

本文的閱讀等級:初級

十八世紀末,複數已漸漸被時人所接受,1799年挪威─丹麥數學家韋塞爾 (Caspar Wessel) 提出複數可看作平面上的一點。數年後,高斯 (Carl Friedrich Gauss) 再提出此觀點並大力推廣,從此複數的研究開始快速發展[1]。複數數系是一個體 (域,field),我們用 \mathbb{C} 表示複數體。簡單地說,一個體就是具有加法和乘法的數系 (見“有限體與模算術”),譬如,實數系 \mathbb{R} 是一個最常見的體。高斯主張複數系 \mathbb{C} 是二維平面 \mathbb{R}^2 (稱為複數平面),並賦予一乘法運算。令實部單位 1 在複數平面的座標為 (1,0),虛部單位 i 在複數平面的座標為 (0,1)。任一複數 z 可唯一表示為 z=x+yi,其中 xy 是實數,也就是說,複數 x+yi 可以視為實數 xy 組成的有序對:

\displaystyle x+yi\leftrightarrow (x,y)

這裡我們要澄清一個觀念:向量空間 \mathbb{C} 的維數 (dimension) 究竟是 2 還是 1?向量空間 \mathcal{V} 的維數定義為 \mathcal{V} 的基底的基數 (cardinal number),即基底向量的總數。複數系 \mathbb{C} 既是一個複向量空間也是實向量空間[2]\mathbb{C} 的維數取決於構成向量空間的體,也就是說,\dim_{\mathbb{C}}\mathbb{C}=1,但 \dim_{\mathbb{R}}\mathbb{C}=2。不過,複向量空間 \mathbb{C}\mathbb{R}^2 並是不同構的 (isomorphic),因為同構的向量空間必須佈於相同的數系 (見“同構的向量空間”)。

 
複數和二維實向量有相同的加法運算:若 w=a+biz=x+yi,則

\displaystyle w+z=(a+x)+(b+y)i

自然地,\mathbb{R}^2 的加法運算法則適用於 \mathbb{C}。複數的乘法運算定義如下:若 w=a+biz=x+yi,則

\displaystyle wz=(ax-by)+(bx+ay)i

根據複數乘法定義,當 w=z=i,可得 i^2=-1,或記為 i=\sqrt{-1}。向量空間 \mathbb{R}^2 不存在所謂的「向量乘法」運算 (見“線性代數裡的代數結構”),那麼我們如何在 \mathbb{R}^2 實現複數乘法運算?使用同化關係 \displaystyle x+yi\leftrightarrow (x,y),複數乘法運算可表示為定義於 \mathbb{R}^2 的線性算子

\displaystyle T_{a,b}(x,y)=(ax-by,bx+ay)

或以矩陣乘法表示為

\displaystyle \left[\!\!\begin{array}{cr} a&-b\\ b&a \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ax-by\\ bx+ay \end{bmatrix}

下圖顯示透過二維實向量和複數的同化,線性算子 T_{a,b} 對應乘數 a+bi

複數的矩陣表示

 
除了以實向量 (a,b) 表示複數 a+bi ,線性算子 T_{a,b} 參考標準基底的表示矩陣 \left[\!\!\begin{array}{cr} a&-b\\ b&a \end{array}\!\!\right] 是否也可用來表示 a+bi?答案是肯定的。考慮複數和 2\times 2 階實矩陣之間的映射,定義如下:

\displaystyle f(a+bi)=\left[\!\!\begin{array}{cr} a&-b\\ b&a \end{array}\!\!\right]

在抽象代數中,同態 (homomorphism,源自希臘文,homos 意為相同,morphe 意為形態) 是指兩個同類的代數結構 (例如群、環、或向量空間) 之間使結構維持不變的映射。複數是一個環 (ring)[3],它有加法和乘法;2\times 2 階實矩陣也是一個環,它有矩陣加法和矩陣乘法。因為 f 保留加法結構:

\displaystyle\begin{aligned} f\left((a+bi)+(x+yi)\right)&=f\left((a+x)+(b+y)i\right)\\ &=\left[\!\!\begin{array}{cr} a+x&-b-y\\ b+y&a+x \end{array}\!\!\right]\\ &=\left[\!\!\begin{array}{cr} a&-b\\ b&a \end{array}\!\!\right]+\left[\!\!\begin{array}{cr} x&-y\\ y&x \end{array}\!\!\right],\end{aligned}

以及乘法結構:

\displaystyle\begin{aligned} f\left((a+bi)(x+yi)\right)&=f\left((ax-by)+(bx+ay)i\right)\\ &=\left[\!\!\begin{array}{cr} ax-by&-bx-ay\\ bx+ay&ax-by \end{array}\!\!\right]\\ &=\left[\!\!\begin{array}{cr} a&-b\\ b&a \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{cr} x&-y\\ y&x \end{array}\!\!\right],\end{aligned}

所有諸如單位元素、逆元、和二元運算 (加法與乘法) 之類的屬性不變,我們稱 f 是一個環同態。為了方便,令 Z=\left[\!\!\begin{array}{cr} x&-y\\ y&x \end{array}\!\!\right]z=x+yi 的矩陣表示。將 Z 分解成

\displaystyle Z=\left[\!\!\begin{array}{cr} x&-y\\ y&x \end{array}\!\!\right]=x\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}+y\left[\!\!\begin{array}{cr} 0&-1\\ 1&0 \end{array}\!\!\right]=xI+yJ

其中 I=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}J=\left[\!\!\begin{array}{cr} 0&-1\\ 1&0 \end{array}\!\!\right] 滿足 J^2=-I。所以,環同態 f 也可以表示為 f(x+yi)=xI+yJ

 
複數的矩陣表示的實用價值雖然不大,但可以彰顯複數的幾何意義。下面我們討論一些複數的性質在矩陣表示的表現。

(1) 組合矩陣 IJ 都是實正交矩陣,滿足 I^{-1}=I^TJ^{-1}=J^TI 是對稱矩陣,I^T=IJ 是反對稱矩陣,J^T=-J (見“特殊矩陣 (13):反對稱矩陣”)。單位矩陣 I 對應實部單位 1J 對應虛部單位 i

(2) 複數 z=x+yi 的共軛是 \overline{z}=x-yi,其矩陣表示為

\displaystyle f(x-yi)=xI-yJ=\left[\!\!\begin{array}{rc} x&y\\ -y&x \end{array}\!\!\right]=Z^T

因為 J 是反對稱矩陣,一複數的共軛即為其矩陣表示的轉置。

(3) 複數 z=x+yi 的絕對值為 \vert z\vert=(z\overline{z})^{1/2}=(x^2+y^2)^{1/2}。矩陣表示 Z 的行列式的平方根即為 \vert z\vert

\displaystyle \det Z=\left|\!\!\begin{array}{cr} x&-y\\ y&x \end{array}\!\!\right|=x^2+y^2=\vert z\vert^2

另一個解釋是 \det Z 等於 Z 的所有特徵值的積,而 Z 的兩個特徵值為 z=x+yi\overline{z}=x-yi

(4) 非零複數 z=x+y 的逆元 z^{-1} 滿足 zz^{-1}=z^{-1}z=1,故 z^{-1}=1/z=\overline{z}/(z\overline{z})=\overline{z}\vert z\vert^{-2}。欲求出矩陣表示 Z 的逆元,將 \overline{z} 替換為 Z^T\vert z\vert^2 替換為 \det Z,可得 Z^{-1}=(\det Z)^{-1}Z^T,此即以伴隨矩陣表達的逆矩陣公式 (見“伴隨矩陣”)。

(5) 考慮複數的極座標形式 z=re^{i\theta}=r\cos\theta+ir\sin\theta (見“歐拉恆等式──最優美的數學定理”),其中 r=\vert z\vert 是絕對值,\theta=\tan^{-1}(y/x) 是幅角。因為 x=r\cos\thetay=r\sin\theta,以矩陣表示的極座標形式為純量矩陣和旋轉矩陣的積:

\displaystyle Z=\left[\!\!\begin{array}{cr} r\cos\theta&-r\sin\theta\\ r\sin\theta&r\cos\theta \end{array}\!\!\right]=\left[\!\!\begin{array}{cc} r&0\\ 0&r \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{cr} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{array}\!\!\right]

上式表明複數 z=re^{i\theta} 的幾何意義是在二維平面逆時針旋轉 \theta 徑度 (弧度,radian) 並伸縮 r 倍 (見“解讀複特徵值”),因此不須計算即可推論 Z^k=r^k\left[\!\!\begin{array}{cr} \cos k\theta&-\sin k\theta\\ \sin k\theta&\cos k\theta \end{array}\!\!\right],即 z^k=r^ke^{ik\theta}。當 z 是實數時,z=\overline{z},即 Z=Z^T,可知 Z 退化為純量矩陣 Z=rI

 
傳統的靜態觀點將複數 z 看作是複數平面上的一個點,複數的矩陣表示 Z 則提供了一種動態觀點:Z\mathbb{R}^2 上包含伸縮和旋轉的複合線性變換 (矩陣)。最後備註本文所介紹複數的矩陣表示並非唯一的方式。考慮

\displaystyle J=\left[\!\!\begin{array}{cr} p&q\\ r&-p \end{array}\!\!\right]

其中 p^2+qr+1=0。計算可得 J^2=-I,我們稱 J 為廣義虛部矩陣。對於任一廣義虛部矩陣 Jf(x+yi)=xI+yJ 都是從複數體 \mathbb{C} 映射至 2\times 2 階實矩陣的環同態,驗證如下:

\displaystyle \begin{aligned} f\left((a+bi)+(x+yi)\right)&=f\left((a+x)+(b+y)i\right)\\ &=(a+x)I+(b+y)J\\ &=(aI+bJ)+(xI+yJ)\end{aligned}

而且

\displaystyle \begin{aligned} f\left((a+bi)(x+yi)\right)&=f\left((ax-by)+(bx+ay)i\right)\\ &=(ax-by)I+(bx+ay)J\\ &=(aI+bJ)(xI+yJ).\end{aligned}

給定一廣義虛部矩陣 J,複數 z 的共軛、絕對值、逆元和極座標形式的矩陣表示 Z 的對等公式就留給讀者自行推導。

 
註解與來源:
[1] 維基百科:複數 (數學)
[2] 對於 x_1+y_1i,x_2+y_2i\in\mathbb{C}\alpha\in\mathbb{R},定義向量加法 (x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i 與純量乘法 \alpha(x_1+y_1i)=(\alpha x_1)+(\alpha y_1)i。如此,\mathbb{C} 是一個實向量空間,\dim_{\mathbb{R}}\mathbb{C}=2
[3] 維基百科:環 (代數)

相關閱讀:
廣告
本篇發表於 線性變換, 線性代數專欄 並標籤為 , , , 。將永久鏈結加入書籤。

One Response to 複數的矩陣表示

  1. Meiyue Shao 說道:

    “複數的矩陣表示的實用價值雖然不大"——我觉得这一讲法有待商榷。

    对于不少复数域上的线性代数的问题而言,第一步就先“不妨设矩阵/空间是实的”,这个"不妨设"的依据就来自于复矩阵的实嵌入表示,应该说简化了一大批问题的讨论。

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

您的留言將使用 WordPress.com 帳號。 登出 / 變更 )

Twitter picture

您的留言將使用 Twitter 帳號。 登出 / 變更 )

Facebook照片

您的留言將使用 Facebook 帳號。 登出 / 變更 )

Google+ photo

您的留言將使用 Google+ 帳號。 登出 / 變更 )

連結到 %s