每週問題 September 30, 2013

這是證明 Lagrange 內插多項式的唯一存在性。

Given a set of n points S=\{(x_1,y_1,),(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n)\} in which the x_i’s are distinct, prove that there is a unique polynomial

\displaystyle  p(t)=c_0+c_1t+c_2t^2+\cdots+c_{n-1}t^{n-1}

of degree n-1 that passes through each point in S.

 
參考解答:

根據題意,多項式係數 c_i 必須滿足方程組:

\displaystyle\begin{aligned}  c_1+c_1x_1+c_2x_1^2+\cdots+c_{n-1}x_1^{n-1}&=p(x_1)=y_1\\  c_1+c_1x_2+c_2x_2^2+\cdots+c_{n-1}x_2^{n-1}&=p(x_2)=y_2\\  &\vdots\\  c_1+c_1x_n+c_2x_n^2+\cdots+c_{n-1}x_n^{n-1}&=p(x_n)=y_n.  \end{aligned}

以矩陣表示為 A\mathbf{c}=\mathbf{y},如下:

\displaystyle  \begin{bmatrix}  1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^{n-1}\\  1&x_2&x_2^2&\cdots&x_2^{n-1}\\  \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\  1&x_n&x_n^2&\cdots&x_n^{n-1}  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  c_0\\  c_1\\  \vdots\\  c_{n-1}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  y_1\\  y_2\\  \vdots\\  y_n  \end{bmatrix}

其中係數矩陣 A 是一 Vandermonde 矩陣,其行列式為

\displaystyle  \det A=\prod_{1\le j<i\le n}(x_i-x_j)

x_1,x_2,\ldots,x_n 是相異的 n 個數,則 \det A\neq 0,表示 Vandermonde 矩陣 A 可逆,故存在唯一的 n-1 階多項式 p(t) 穿越給定的 n 個點。

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