電影《心靈捕手》的數學問題 (二)

本文的閱讀等級:初級

話說麻省理工學院朗博教授為尋訪武林高手,特意在走廊黑板公布一道數學難題挑戰天下豪傑。果然此地臥虎藏龍,不知何方神聖匆匆留下正確解答,隨即消失無蹤 (見“電影《心靈捕手》的數學問題 (一)”)。這天朗博教授踏進教室,意外發現裡面擠滿了聞風而來的學生,大家都想探明這位神祕數學法師的真實身分。朗博教授用朗讀莎士比亞作品的語氣召喚法師摘下面具前來領獎:

So without further adieu, come forward, silent rogue, and receive thy prize.

為了增添戲劇效果,現在還不是男主角威爾以數學大師之尊現身的時候。再說這個時機也不恰當,當下威爾因為打群架被抓進警察局。閒話休提,書歸正傳,本文要討論的問題是朗博教授身後黑板上的數學式。請先觀賞影片 (字幕見[1])。

 
毫無疑問,我們從黑板上的內容可以斷定使用這個教室的前一堂課是線性代數,主題是特徵值與特徵向量。黑板左上方寫了一個 3\times 3 階矩陣

\displaystyle A=\left[\!\!\begin{array}{ccr} 1&1&0\\ 1&1&-2\\ 2&1&0 \end{array}\!\!\right]

緊接著列出特徵方程

\displaystyle A\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}

旁邊有一句註解:解開這個方程式以找出特徵值 \lambda。將給定的 A 代入上式,乘開可得

\displaystyle\begin{array}{rccl} x&+y& &=\lambda x\\ x&+y&-2z&=\lambda y\\ 2x&+y & &=\lambda z. \end{array}

等號右邊各項移至等號左邊,

\displaystyle\begin{array}{rrrl} (1-\lambda)x&+y& &=0\\ x&+(1-\lambda)y&-2z&=0\\ 2x&+y &-\lambda z &=0. \end{array}

我們要求特徵向量不為零向量 (即 x,y,z 不全為零),故 A-\lambda I 的零空間包含非零向量,也就是說,特徵值 \lambda 必須使 A-\lambda I 不可逆。以行列式表達 A 的特徵多項式並設為零:

\displaystyle \det(A-\lambda I)=\left|\!\!\begin{array}{ccr} 1-\lambda&1&0\\ 1&1-\lambda&-2\\ 2&1&-\lambda \end{array}\!\!\right|=0

此方程式的根即為特徵值。黑板上沒有寫出解,下面說明剩餘的計算工作。展開行列式,

\displaystyle \det(A-\lambda I)=-\lambda^3+2\lambda^2-2\lambda-2=0

這個三次方程式不存在整數項分解因式,我們可以套用三次方程的求根公式 (見“三次方程的求根公式”),或求助於線上矩陣計算器 (Online Matrix Calculator) 來計算 A 的特徵值和特徵向量,結果如下:-0.5751.287+1.35i1.287-1.35i,其中 i=\sqrt{-1},對應的特徵向量分別是

\displaystyle \left[\!\!\begin{array}{r} -0.498\\ 0.785\\ 0.369 \end{array}\!\!\right],~~\left[\!\!\begin{array}{r} -0.433-0.123i\\ 0.041-0.62i\\ -0.641 \end{array}\!\!\right],~~~~\left[\!\!\begin{array}{r} -0.433+0.123i\\ 0.041+0.62i\\ -0.641 \end{array}\!\!\right]

因為 A 是一實矩陣,複特徵值和特徵向量具有共軛形式 (見“解讀複特徵值”)。

 
接著看黑板右邊的內容。右下方顯示一個 3\times 3 階矩陣

\displaystyle A=\left[\!\!\begin{array}{rrr} 2k&-k&-k\\ k&2k&-k\\ k&k&2k \end{array}\!\!\right]

k=0,則 A=0。以下假設 k\neq 0。黑板右上方寫了 A 有兩個相同的特徵值 3k,稱為退化特徵值 (degenerate eigenvalues),\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ 0\\ -1 \end{array}\!\!\right] 是對應的特徵向量。影片只顯示不完整的特徵值和特徵向量訊息,我們不妨拿它來當作練習求出其他的特徵值。觀察發現 A 具有特殊形態,將它分解為

\displaystyle A=2k\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}+k\left[\!\!\begin{array}{crr} 0&-1&-1\\ 1&0&-1\\ 1&1&0 \end{array}\!\!\right]=2kI+kJ

其中 J=\left[\!\!\begin{array}{crr} 0&-1&-1\\ 1&0&-1\\ 1&1&0 \end{array}\!\!\right]。考慮 J\mathbf{x}=\mu\mathbf{x},則 A\mathbf{x}=(2kI+kJ)\mathbf{x}=(2k+k\mu)\mathbf{x}。一旦求出 J 的特徵值 \mu,即得 A 的特徵值 \lambda=2k+k\mu,而且 JA 有相同的特徵向量。寫出 J 的特徵多項式

\displaystyle \det(J-\mu I)=\left|\!\!\begin{array}{rrr} -\mu&-1&-1\\ 1&-\mu&-1\\ 1&1&-\mu \end{array}\!\!\right|=-\mu(\mu^2+3)

設上式為零,立得 \mu=0\pm\sqrt{3}i,故知 A 有三個相異特徵值 2k2k\pm k\sqrt{3}i。奇怪了,這個結果與黑板寫的相重特徵值 3k 完全不同。到底是怎麼一回事?再看特徵向量,令 (1,0,-1)^TA 相乘,

\displaystyle \left[\!\!\begin{array}{rrr} 2k&-k&-k\\ k&2k&-k\\ k&k&2k \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ 0\\ -1 \end{array}\!\!\right]=\left[\!\!\begin{array}{r} 3k\\ 2k\\ -k \end{array}\!\!\right]=k\left[\!\!\begin{array}{r} 3\\ 2\\ -1 \end{array}\!\!\right]

上式表明 (1,0,-1)^T 根本不是 A 的一個特徵向量。

 
為甚麼電影裡會發生這樣的錯誤?下面是我所能想到唯一一個合理的解釋。

拍攝課堂場景當天一大早,一位阿伯進入空無一人的教室打掃。一股巨大的磁力吸引他緩緩走向講桌,突然間,黑板上書寫的矩陣[2]

\displaystyle A=\left[\!\!\begin{array}{rrr} 2k&-k&-k\\ -k&2k&-k\\ -k&-k&2k \end{array}\!\!\right]

發出耀眼的強光。阿伯嚇得驚慌失措,順手抓起黑板擦把主對角線下面三個 -k 的負號抹掉。這時候,編劇麥特•戴蒙 (Matt Damon) 和班•艾佛列克 (Ben Affleck)[3] 推開門走進教室,阿伯倉皇轉身朝後門走去。
「抱歉。」阿伯頭也不回地說。
戴蒙邊追邊問:「你在做甚麼?」
「抱歉。」
「那是人們的功課。你不可以在上面塗鴉。」戴蒙十分不悅,吼道:「你別想離開!」
「嘿,草泥!」
「哦,自以為聰明的傢伙,你叫甚麼名字?」
阿伯迅速拉開後門,等戴蒙追到外面,人已經失去蹤影。戴蒙悻悻然步回教室,望著黑板發楞,過一會兒才說:「哦,天哪!」
「看起來是對的。」艾佛列克說。
戴蒙微微地點頭。

就這樣,原本是對的矩陣糊里糊塗地被改為錯的矩陣。

 
回到電影情節,朗博教授和學生們對於未能揭開數學法師的神秘面紗頗感失望,於是他和助教在黑板上又出了一個難題,並且撂下狠話:「我們花了二年多來證明 (這個問題)。」朗博教授來勢洶洶,公開扔下戰書,究竟威爾要如何接招方能化險為夷?欲知後事如何,且看下回分解。

 
註解:
[1] 字幕:
[ Students Chattering ]
Is it just my imagination, or has my class grown considerably?
Well, by no stretch of my imagination…
do I believe you’ve all come here to hear me lecture.
Rather, to ascertain the identity of the mystery math magician.
So without further adieu, come forward, silent rogue, and receive thy prize.
Well, I’m sorry to disappoint my spectators, but…
it seems there will be no unmasking here today.
However, uh, my colleagues and l have conferred,
and there is a problem on the board right now…
that took us more than two years to prove.
So let this be said: The gauntlet has been thrown down,
but the faculty have answered and answered with vigor.
[ Car Alarm Screeches ]
Hey, when’s the arraignment?
Next week.
[ Chalk Clicking Chalkboard ]
[ Chattering ]
Sorry.
– What are you doing? – Sorry.
That’s people’s work. You can’t graffiti here.
– Don’t you walk away from me! – Hey, fuck you!
Oh, you’re a clever one. What’s your name?
[ Door Closes ]
Oh, my God.
Looks right.
[2] 黑板右下的 3\times 3 階矩陣應該是

\displaystyle A=\left[\!\!\begin{array}{rrr} 2k&-k&-k\\ -k&2k&-k\\ -k&-k&2k \end{array}\!\!\right]

請讀者自行驗證 A 的特徵值為 0, 3k, 3k,對應的特徵向量是

\displaystyle \left[\!\!\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\!\!\right],~~\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ 0\\ -1 \end{array}\!\!\right],~~\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 0 \end{array}\!\!\right]

[3]《心靈捕手》在1998年入圍9個奧斯卡獎項,麥特•戴蒙 (Matt Damon,飾演威爾) 和班•艾佛列克 (Ben Affleck,飾演查克) 獲得了最佳編劇獎。

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