每週問題 October 7, 2013

這是一個半正定矩陣的證明問題。

Let \mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbb{C}^n. If \Vert\mathbf{x}\Vert< 1 and \Vert\mathbf{y}\Vert< 1, show that

\displaystyle  \begin{bmatrix}  \frac{1}{1-\left\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\right\rangle}&\frac{1}{1-\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle}\\[0.5em]  \frac{1}{1-\left\langle\mathbf{y},\mathbf{x}\right\rangle}&\frac{1}{1-\left\langle\mathbf{y},\mathbf{y}\right\rangle}  \end{bmatrix}

is positive semidefinite.

 
參考解答:

因為 \Vert\mathbf{x}\Vert< 1\Vert\mathbf{y}\Vert< 1,使用 Cauchy 不等式

\displaystyle  \vert \left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle\vert\le\Vert\mathbf{x}\Vert\cdot\Vert\mathbf{y}\Vert

即知 \vert \left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle\vert<1,其中 \mathbf{x}\mathbf{y} 是任何範數小於 1 的向量。套用無窮級數公式

\displaystyle  \frac{1}{1-r}=\sum_{k=0}^\infty r^k

其中 \vert r\vert <1,可得

\displaystyle  \begin{bmatrix}  \frac{1}{1-\left\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\right\rangle}&\frac{1}{1-\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle}\\[0.5em]  \frac{1}{1-\left\langle\mathbf{y},\mathbf{x}\right\rangle}&\frac{1}{1-\left\langle\mathbf{y},\mathbf{y}\right\rangle}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  \sum_{k=0}^\infty \left\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\right\rangle^k&\sum_{k=0}^\infty \left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle^k\\[0.5em]  \sum_{k=0}^\infty \left\langle\mathbf{y},\mathbf{x}\right\rangle^k&\sum_{k=0}^\infty \left\langle\mathbf{y},\mathbf{y}\right\rangle^k  \end{bmatrix}=\sum_{k=0}^\infty\begin{bmatrix}  \left\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\right\rangle^k&\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle^k\\[0.5em]  \left\langle\mathbf{y},\mathbf{x}\right\rangle^k&\left\langle\mathbf{y},\mathbf{y}\right\rangle^k  \end{bmatrix}

上式中,M_k=\begin{bmatrix}  \left\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\right\rangle^k&\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle^k\\[0.5em]  \left\langle\mathbf{y},\mathbf{x}\right\rangle^k&\left\langle\mathbf{y},\mathbf{y}\right\rangle^k  \end{bmatrix} 是半正定矩陣,因為 \hbox{trace}M_k=\Vert\mathbf{x}\Vert^{2k}+\Vert\mathbf{y}\Vert^{2k}\ge 0\det M_k=\Vert\mathbf{x}\Vert^{2k}\Vert\mathbf{y}\Vert^{2k}-\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle^k\cdot\left\langle\mathbf{y},\mathbf{x}\right\rangle^k\ge 0 表明 M_k 的特徵值不為負。若 AB 是相同大小的半正定矩陣,則對於任一向量 \mathbf{z}

\displaystyle  \mathbf{z}^\ast (A+B)\mathbf{z}=\mathbf{z}^\ast A\mathbf{z}+\mathbf{z}^\ast B\mathbf{z}\ge 0

推論 A+B 亦為半正定矩陣。半正定矩陣之和仍為半正定矩陣,因此證得所求。

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