每週問題 October 14, 2013

這是關於線性泛函的系列問題。

Let \mathcal{V} be an inner product vector space over \mathbb{C}. A linear functional on \mathcal{V} is a linear transformation from \mathcal{V} to \mathbb{C} and the dual space of \mathcal{V}, denoted by \mathcal{V}^\ast, is the vector space of all linear functionals on \mathcal{V}.

(a) For \mathbf{v}\in\mathcal{V}, let L_\mathbf{v}(\mathbf{x})=\left\langle\mathbf{v},\mathbf{x}\right\rangle, for all \mathbf{x}\in\mathcal{V}. Show that L_{\mathbf{v}} is a linear functional for every \mathbf{v}.
(b) Let T be the transformation from \mathcal{V} to \mathcal{V}^\ast defined by T(\mathbf{v})=L_{\mathbf{v}}, for all \mathbf{v}\in\mathcal{V}. Show that T is one-to-one and onto.

 
參考解答:

(a) 根據定義,對於 \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathcal{V}c\in\mathbb{C}

\displaystyle  L_{\mathbf{v}}(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\left\langle\mathbf{v},\mathbf{x}+\mathbf{y}\right\rangle  =\left\langle\mathbf{v},\mathbf{x}\right\rangle+\left\langle\mathbf{v},\mathbf{y}\right\rangle  =L_{\mathbf{v}}(\mathbf{x})+L_{\mathbf{v}}(\mathbf{y})

而且

\displaystyle  L_{\mathbf{v}}(c\mathbf{x})=\left\langle\mathbf{v},c\mathbf{x}\right\rangle  =c\left\langle\mathbf{v},\mathbf{x}\right\rangle  =cL_{\mathbf{v}}(\mathbf{x})

因此證明 L_{\mathbf{v}} 是一個從 \mathcal{V}\mathbb{C} 的線性變換,也就是一個線性泛函。

(b) 對於 \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathcal{V}c\in\mathbb{C}

\displaystyle\begin{aligned}  T(\mathbf{x}+\mathbf{y})(\mathbf{u})&=L_{\mathbf{x}+\mathbf{y}}(\mathbf{u})=\left\langle\mathbf{x}+\mathbf{y},\mathbf{u}\right\rangle  =\left\langle\mathbf{x},\mathbf{u}\right\rangle+\left\langle\mathbf{y},\mathbf{u}\right\rangle\\  &=L_{\mathbf{x}}(\mathbf{u})+L_{\mathbf{y}}(\mathbf{u})=(L_{\mathbf{x}}+L_{\mathbf{y}})(\mathbf{u})=(T(\mathbf{x})+T(\mathbf{y}))(\mathbf{u}),\end{aligned}

而且

\displaystyle\begin{aligned}  T(c\mathbf{x})(\mathbf{u})&=L_{c\mathbf{x}}(\mathbf{u})=\left\langle c\mathbf{x},\mathbf{u}\right\rangle  =\overline{c}\left\langle\mathbf{x},\mathbf{u}\right\rangle\\  &=\overline{c}L_{\mathbf{x}}(\mathbf{u})=(\overline{c}L_{\mathbf{x}})(\mathbf{u})=(\overline{c}T(\mathbf{x}))(\mathbf{u}).\end{aligned}

所以,T(\mathbf{x}+\mathbf{y})=T(\mathbf{x})+T(\mathbf{y})T(c\mathbf{x})=\overline{c}T(\mathbf{x})。注意,T 並不是一個從 \mathcal{V}\mathcal{V}^\ast 的線性變換。若 T(\mathbf{x})=T(\mathbf{y}),即 L_{\mathbf{x}}=L_{\mathbf{y}},則對於每一 \mathbf{u}\in\mathcal{V}

\displaystyle  \left\langle\mathbf{x},\mathbf{u}\right\rangle=\left\langle\mathbf{y},\mathbf{u}\right\rangle

\mathbf{x}=\mathbf{y},證明 T 是一對一。欲證明 T 是滿射,假設 \{\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n\}\mathcal{V} 的一組單範正交基底 (orthonormal basis),即 \left\langle\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j\right\rangle=1i=j\left\langle\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j\right\rangle=0i\neq j。給定任一 f\in\mathcal{V}^\ast,令

\displaystyle  \mathbf{x}=\overline{f(\mathbf{e}_1)}\mathbf{e}_1+\cdots+\overline{f(\mathbf{e}_n)}\mathbf{e}_n

因為

\displaystyle   \left\langle\mathbf{x},\mathbf{e}_i\right\rangle=\left\langle\sum_{j=1}^n\overline{f(\mathbf{e}_j)}\mathbf{e}_j,\mathbf{e}_i\right\rangle=\sum_{j=1}^n f(\mathbf{e}_j)\left\langle\mathbf{e}_j,\mathbf{e}_i\right\rangle=f(\mathbf{e}_i),~~~i=1,\ldots,n

f 是一線性泛函,對於 \mathbf{u}=u_1\mathbf{e}_1+\cdots+u_n\mathbf{e}_n\in\mathcal{V},可得

\displaystyle\begin{aligned}  (T(\mathbf{x}))(\mathbf{u})&=L_{\mathbf{x}}(\mathbf{u})=\left\langle\mathbf{x},\mathbf{u}\right\rangle=\left\langle\mathbf{x},\sum_{i=1}^nu_i\mathbf{e}_i\right\rangle\\  &=\sum_{i=1}^nu_i\left\langle\mathbf{x},\mathbf{e}_i\right\rangle=\sum_{i=1}^nu_if(\mathbf{e}_i)=f\left(\sum_{i=1}^nu_i\mathbf{e}_i\right)=f(\mathbf{u}),\end{aligned}

T(\mathbf{x})=f,證明 T 是滿射。合併以上結果,\mathbf{x}\rightleftharpoons L_{\mathbf{x}},我們稱 T 為共軛同構。

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