答求知慾──關於分塊矩陣的冪矩陣

網友求知慾留言:

周老師您好:近期翻看線代啟示錄,關於分塊矩陣有些問題,請問是否能有方法將其作次方?若是普通矩陣可利用對角化作 n 次方,分塊矩陣則只翻閱到特殊矩陣的對角化,是否有其他分塊矩陣能夠利用對角化?或是有其他分法可以進行分塊矩陣的 n 次方?謝謝。

 
答曰:

A 為一 n\times n 階矩陣。因為冪矩陣 A^k 是一種特殊的矩陣函數,我們不妨考慮更具一般性的矩陣函數計算問題:如果 A 有某種分塊形式,譬如包含零分塊,是否存在較為簡便的矩陣函數 f(A) 算法?

 
過去我曾經介紹過兩種適用於一般矩陣的矩陣函數算法。第一個方法建立在 A 的對角化或 Jordan 形式上。若 A 可對角化為 A=SDS^{-1},其中 D=\hbox{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\lambda_iA 的特徵值,則

\displaystyle f(A)=Sf(D)S^{-1}

其中 f(D)=\hbox{diag}(f(\lambda_1),\ldots,f(\lambda_n)) (見“矩陣函數 (上)”)。若 A 不可對角化,求出 Jordan 分解 A=MJM^{-1},其中 J 是 Jordan 矩陣,則

\displaystyle f(A)=Mf(J)M^{-1}

其中 f(J) 為一分塊對角矩陣 (見“矩陣函數 (下)”)。

 
第二個方法使用 Cayley-Hamilton 定理。令 p(t)=\det(A-tI)A 的特徵多項式。Cayley-Hamilton 定理指出 p(A)=0,矩陣 A 被其特徵多項式消滅。因為 p(t) 是一個 n 次多項式,任何矩陣函數 f(A) 皆可表示成

\displaystyle\begin{aligned} f(A)&=q(A)p(A)+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_1A+c_0I\\ &=c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_1A+c_0I.\end{aligned}

假設 A 有相異特徵值 \lambda_1,\ldots,\lambda_m,且 \beta_1,\ldots,\beta_m 為對應的相重數 (代數重數),則 A 的特徵多項式為

\displaystyle p(t)=(t-\lambda_1)^{\beta_1}\cdots(t-\lambda_m)^{\beta_m}

考慮

\displaystyle\begin{aligned}   f(t)&=q(t)p(t)+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots+c_1t+c_0\\  &=q(t)(t-\lambda_1)^{\beta_1}\cdots(t-\lambda_m)^{\beta_m}+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots+c_1t+c_0,  \end{aligned}

對於特徵值 \lambda_i,我們可以使用 \beta_i 個限制條件:f(\lambda_i),~f^{\prime}(\lambda_i),\ldots,~f^{(\beta_i-1)}(\lambda_i)。因為 \sum_{i=1}^m\beta_i=n,總共有 n 個條件式可用來決定係數 c_0,c_1,\ldots,c_{n-1} (見“利用 Cayley-Hamilton 定理計算矩陣函數”)。

 
某些特殊形式的分塊矩陣確實可以簡化特徵多項式 (特徵值) 的計算,關鍵在於這些分塊矩陣的行列式性質 (見“分塊矩陣的行列式”)。求出特徵多項式之後,讀者必須決定採用上述那一個方法來計算矩陣函數。下面舉幾個典型的例子。

(1) \begin{bmatrix} B&C\\ 0&D \end{bmatrix}BD 是方陣:

\displaystyle p(t)=\begin{vmatrix} B-tI&C\\ 0&D-tI \end{vmatrix}=\det(B-tI)\det(D-tI)

(2) \begin{bmatrix} B&C\\ kI&D \end{bmatrix},所有分塊是同階方陣,k 是常數:

\displaystyle p(t)=\begin{vmatrix} B-tI&C\\ kI&D-tI \end{vmatrix}=\det\left((B-tI)(D-tI)-kC\right)

(3) \begin{bmatrix} 0&B\\ C&0 \end{bmatrix},所有分塊是同階方陣 (另一個作法見“分塊矩陣特徵值的計算方法”):

\displaystyle p(t)=\begin{vmatrix} -tI&B\\ C&-tI \end{vmatrix}=\det(t^2I-BC)=\det(t^2I-CB)

(4) \begin{bmatrix} B&C\\ C&B \end{bmatrix}BC 是同階方陣:

\displaystyle p(t)=\begin{vmatrix} B-tI&C\\ C&B-tI \end{vmatrix}=\det(B-tI+C)\det(B-tI-C)

 
回到原問題,分塊矩陣是否有其他簡易的冪矩陣算法?除了分塊對角矩陣,分塊上 (下) 三角矩陣也有相對簡單的計算方法。考慮

\displaystyle A=\begin{bmatrix} B&C\\ 0&D \end{bmatrix}

其中 BD 是方陣。因為 A^k 的主對角分塊仍維持冪矩陣形式,設

\displaystyle A^k=\begin{bmatrix} B^k&U(k)\\ 0&D^k \end{bmatrix}

A^{k+1}=AA^{k} 即為

\displaystyle \begin{bmatrix} B^{k+1}&U(k+1)\\ 0&D^{k+1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} B&C\\ 0&D \end{bmatrix}\begin{bmatrix} B^k&U(k)\\ 0&D^k \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} B^{k+1}&BU(k)+CD^k\\ 0&D^{k+1} \end{bmatrix}

比較等號兩邊可得下列遞歸方程:

\displaystyle U(k+1)=BU(k)+CD^k,~~~U(1)=C

不難解出

\displaystyle U(k)=\sum_{j=0}^{k-1}B^{j}CD^{k-j-1},~~k=1,2,\ldots

所以,

\displaystyle A^k=\begin{bmatrix} B^k&\sum_{j=0}^{k-1}B^{j}CD^{k-j-1}\\ 0&D^k \end{bmatrix}

最後只要將分塊 BD 的冪矩陣表達式代入上式即可。

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