## 答matrices──關於矩陣二次方程的求解問題

$Y, P, Q$$n\times n$ 階矩陣。將 $Y^2-PY+Q=0$ 改寫為 $PY-Q=Y^2$。設 $Y$ 的 Jordan 形式為 $Y=SJS^{-1}$，其中 $J$ 是 Jordan 矩陣 (見“Jordan 形式大解讀 (上)”)。將上式代入二次方程，可得 $PSJS^{-1}-Q=SJ^2S^{-1}$，再右乘 $S$，就有

$\displaystyle PSJ-QS=SJ^2$

\displaystyle\begin{aligned} PR-QS&=RJ\\ R&=SJ, \end{aligned}

$\displaystyle \begin{bmatrix} P&-Q\\ I&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} R\\ S \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} R\\ S \end{bmatrix}J$

$\displaystyle A=\begin{bmatrix} P&-Q\\ I&0 \end{bmatrix}$

$\displaystyle \begin{bmatrix} \lambda_j&1&&\\ &\ddots&\ddots&\\ &&\ddots&1\\ &&&\lambda_j \end{bmatrix}$

\displaystyle\begin{aligned} (A-\lambda_j I)\mathbf{u}_k&=\mathbf{0}\\ (A-\lambda_j I)\mathbf{u}_{k+1}&=\mathbf{u}_k,\end{aligned}

$\displaystyle m_A(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_m)$

\displaystyle\begin{aligned} \mathbf{0}=m_A(A)\mathbf{u}_{k+1}&=(A-\lambda_1I)\cdots(A-\lambda_{j-1}I)(A-\lambda_{j+1}I)\cdots(A-\lambda_m I)(A-\lambda_j I)\mathbf{u}_{k+1}\\ &=(A-\lambda_1I)\cdots(A-\lambda_{j-1}I)(A-\lambda_{j+1}I)\cdots(A-\lambda_m I)\mathbf{u}_k\\ &=(A-\lambda_1I)\cdots(A-\lambda_{j-1}I)(A-\lambda_{j+1}I)\cdots(\lambda_j-\lambda_m)\mathbf{u}_k\\ &=\cdots\\ &=(\lambda_j-\lambda_1)\cdots(\lambda_j-\lambda_{j-1})(\lambda_j-\lambda_{j+1})\cdots(\lambda_j-\lambda_m)\mathbf{u}_k.\end{aligned}

$J=\hbox{diag}(\mu_1,\ldots,\mu_n)$，其中每一 $\mu_i\in\sigma(A)$。因為 $\begin{bmatrix} R\\ S \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{u}_1&\cdots&\mathbf{u}_n \end{bmatrix}$，故

$\displaystyle A\begin{bmatrix} \mathbf{u}_1&\cdots&\mathbf{u}_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{u}_1&\cdots&\mathbf{u}_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mu_1&&\\ &\ddots&\\ &&\mu_n \end{bmatrix}$

$\displaystyle \begin{bmatrix} A\mathbf{u}_1&\cdots&A\mathbf{u}_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mu_1\mathbf{u}_1&\cdots&\mu_n\mathbf{u}_n \end{bmatrix}$

$\displaystyle \mathbf{u}_i=\begin{bmatrix} \mathbf{v}_i\\ \mathbf{w}_i \end{bmatrix},~~~i=1,\ldots,n$

$\displaystyle R=\begin{bmatrix} \mathbf{v}_1&\cdots&\mathbf{v}_n \end{bmatrix},~~~S=\begin{bmatrix} \mathbf{w}_1&\cdots&\mathbf{w}_n \end{bmatrix}$

$\displaystyle Y=RS^{-1}=\begin{bmatrix} \mathbf{v}_1&\cdots&\mathbf{v}_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{w}_1&\cdots&\mathbf{w}_n \end{bmatrix}^{-1}$

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### 2 則回應給 答matrices──關於矩陣二次方程的求解問題

1. vincent 說：

太牛了，高屋建瓴！ 老师不知能否给一个线性代数最牛的十大技巧或思路列表。