## 每週問題 October 21, 2013

Let $A=[a_{ij}]$ be an $n\times n$ matrix. If $\lambda$ is an eigenvalue of $A$, show that there exists an integer $k$, $1\le k\le n$, such that

$\displaystyle \vert \lambda-a_{kk}\vert\le\sum_{j=1,j\neq k}^n\vert a_{kj}\vert.$

$A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$，其中 $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)^T$ 是一非零向量。乘開特徵方程，

$\displaystyle \sum_{j=1,j\neq i}^n a_{ij}x_j=(\lambda-a_{ii})x_i,~~~i=1,\ldots,n$

$\vert x_k\vert=\max_{1\le i\le n}\vert x_i\vert>0$。因此，

$\displaystyle (\lambda-a_{kk})x_k=\sum_{j=1,j\neq k}^n a_{kj}x_j$

$\displaystyle \vert\lambda-a_{kk}\vert\le\sum_{j=1,j\neq k}^n \left| a_{kj}\frac{x_j}{x_k}\right|\le\sum_{j=1,j\neq k}^n\vert a_{kj}\vert$