每週問題 October 21, 2013

這是關於特徵值與矩陣行向量的不等式證明問題。

Let A=[a_{ij}] be an n\times n matrix. If \lambda is an eigenvalue of A, show that there exists an integer k, 1\le k\le n, such that

\displaystyle  \vert \lambda-a_{kk}\vert\le\sum_{j=1,j\neq k}^n\vert a_{kj}\vert.

 
參考解答:

A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x},其中 \mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)^T 是一非零向量。乘開特徵方程,

\displaystyle  \sum_{j=1,j\neq i}^n a_{ij}x_j=(\lambda-a_{ii})x_i,~~~i=1,\ldots,n

\vert x_k\vert=\max_{1\le i\le n}\vert x_i\vert>0。因此,

\displaystyle  (\lambda-a_{kk})x_k=\sum_{j=1,j\neq k}^n a_{kj}x_j

等號兩邊取絕對值,可得

\displaystyle  \vert\lambda-a_{kk}\vert\le\sum_{j=1,j\neq k}^n \left| a_{kj}\frac{x_j}{x_k}\right|\le\sum_{j=1,j\neq k}^n\vert a_{kj}\vert

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