答r2123b──關於矩陣與遞迴關係式的特徵多項式

網友r2123b留言:

老師:請問線代的特徵多項式 p_{A}(t) 跟求解遞迴方程式 y_{n}=y_{n-1}+y_{n-2}y_{0}=1, y_{1}=2,的 y_{n} 時所用的特徵多項式有什麼關聯嗎?為什麼都叫特徵多項式?

 
答曰:

考慮 k\ge 1 階齊次差分方程

\displaystyle  y_{n}+a_1y_{n-1}+\cdots+a_{k-1}y_{n-k+1}+a_ky_{n-k}=0,~~~n\ge k

其中 a_1,\ldots,a_k 是給定常數。我們的問題要找出 y_n

 

向左走‧向右走 (引用自維基百科)

人生總是有許多巧合,即使兩條反向而行的線,也可能出現交會的一點。[1]

 
向左走

我們猜測 y_n=r^n 是一個特解。將它代入差分方程,

\displaystyle\begin{aligned}  y_{n}+a_1y_{n-1}+\cdots+a_{k-1}y_{n-k+1}+a_ky_{n-k}&=r^n+a_1r^{n-1}+\cdots+a_{k-1}r^{n-k+1}+a_kr^{n-k}\\  &=r^{n-k}(r^k+a_1r^{k-1}+\cdots+a_{k-1}r+a_k)=0.\end{aligned}

定義特徵多項式

p(r)=r^k+a_1r^{k-1}+\cdots+a_{k-1}r+a_k

\lambda_1,\ldots,\lambda_kp(r)k 個根。如果 \lambda_j 相異,可得通解 (見“線性世界的根基──疊加原理”)

\displaystyle  y_n=c_1\lambda_1^n+\cdots+c_k\lambda_k^n

其中 c_1,\ldots,c_k 由初始值 y_0,\ldots,y_{k-1} 決定。

 
向右走

寫出線性方程組

\displaystyle\begin{aligned}  y_n&=-a_1y_{n-1}-\cdots-a_{k-1}y_{n-k+1}-a_ky_{n-k}\\  y_{n-1}&=y_{n-1}\\  &\vdots\\  y_{n-k+1}&=y_{n-k+1},\end{aligned}

或以矩陣形式記作

\displaystyle  \begin{bmatrix}  y_{n-k+1}\\  y_{n-k+2}\\  \vdots\\  y_{n-1}\\  y_n  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  0&1&0&\cdots&0\\  0&0&1&\cdots&0\\  \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\  0&0&0&\cdots&1\\  -a_k&-a_{k-1}&-a_{k-2}&\cdots&-a_1  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  y_{n-k}\\  y_{n-k+1}\\  \vdots\\  y_{n-2}\\  y_{n-1}  \end{bmatrix}

\displaystyle  A=\begin{bmatrix}  0&1&0&\cdots&0\\  0&0&1&\cdots&0\\  \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\  0&0&0&\cdots&1\\  -a_k&-a_{k-1}&-a_{k-2}&\cdots&-a_1  \end{bmatrix}

差分方程可表示為 \mathbf{x}_{n+1}=A\mathbf{x}_{n},其中 \mathbf{x}_{n}=(y_{n},y_{n+1},\ldots,y_{n+k-1})^T,即有 \mathbf{x}_n=A^n\mathbf{x}_0。若 A 可對角化為 A=SDS^{-1},其中 D=\hbox{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_k),則 A^n=SD^nS^{-1}。係數矩陣 A 的特徵多項式為 (見“每週問題 January 8, 2010”)

\displaystyle  p_A(t)=\det(tI-A)=t^k+a_1t^{k-1}+\cdots+a_{k-1}t+a_k

這種特殊形式矩陣 A 稱為多項式 p_A(t) 的相伴矩陣 (見“多項式的相伴矩陣”)。特徵值 \lambda_1,\ldots,\lambda_kp_A(t)k 個根。使用初始條件 \mathbf{x}_0,可得 \mathbf{x}_n=SD^nS^{-1}\mathbf{x}_0

 
引用來源:
[1] 維基百科:向左走‧向右走

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