每週問題 October 28, 2013

本週問題是關於 \overline{A}A 的特徵值性質證明問題。

Let A be an n\times n matrix. Prove that \lambda\ge 0 is an eigenvalue of \overline{A}A if and only if A\overline{\mathbf{x}}=\sqrt{\lambda}\mathbf{x} for some nonzero \mathbf{x}\in\mathbb{C}^n.

 
參考解答:

(\Leftarrow):若 A\overline{\mathbf{x}}=\sqrt{\lambda}\mathbf{x},則 \overline{A}\mathbf{x}=\sqrt{\lambda}\overline{\mathbf{x}}。使用這兩個等式,可得

\displaystyle  (\overline{A}A)\overline{\mathbf{x}}=\overline{A}(A\overline{\mathbf{x}})=\overline{A}(\sqrt{\lambda}\mathbf{x})=\sqrt{\lambda}(\overline{A}\mathbf{x})=\lambda\overline{\mathbf{x}}

故證明 \lambda\overline{A}A 的一個特徵值。

(\Rightarrow):若 \overline{A}A\mathbf{y}=\lambda\mathbf{y},其中 \lambda\ge 0\mathbf{y}\neq\mathbf{0},則 A\overline{A}\overline{\mathbf{y}}=\lambda\overline{\mathbf{y}}。分開兩種情況討論。若 \lambda=0,令 \mathbf{x}=A\mathbf{y}。因此,A\overline{\mathbf{x}}=A\overline{A}\overline{\mathbf{y}}=\lambda\overline{\mathbf{y}}=\mathbf{0},此即所求。若 \lambda\neq 0,再分開兩個情形。如果 A\mathbf{y}=-\sqrt{\lambda}\overline{\mathbf{y}},設 \mathbf{x}=-i\overline{\mathbf{y}},可得

A\overline{\mathbf{x}}=iA\mathbf{y}=-i\sqrt{\lambda}\overline{\mathbf{y}}=\sqrt{\lambda}\mathbf{x}

如果 A\mathbf{y}\neq -\sqrt{\lambda}\overline{\mathbf{y}},設 \mathbf{x}=A\mathbf{y}+\sqrt{\lambda}\overline{\mathbf{y}},故可得

A\overline{\mathbf{x}}=A(\overline{A}\overline{\mathbf{y}}+\sqrt{\lambda}\mathbf{y})=\lambda\overline{\mathbf{y}}+\sqrt{\lambda}A\mathbf{y}=\sqrt{\lambda}(A\mathbf{y}+\sqrt{\lambda}\overline{\mathbf{y}})=\sqrt{\lambda}\mathbf{x}

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