牛頓的二項式定理 (上)

本文的閱讀等級:初級

公元1676年,萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 向牛頓 (Isaac Newton) 探詢廣義二項式定理的發現過程。6月13日,牛頓透過英國皇家學會 (The Royal Society) 秘書奧登堡 (Henry Oldenberg) 轉寄回函[1]。在這封信中,牛頓寫出下列無窮級數,並稱之為定理[2]

\displaystyle  (P+PQ)^{m/n}=P^{m/n}+\frac{m}{n}AQ+\frac{m-n}{2n}BQ+\frac{m-2n}{3n}CQ+\frac{m-3n}{4n}DQ+\cdots

牛頓解釋 P+PQ 是所考慮的二項式,P 是第一項,Q 是剩餘項除以 Pm/n 可以是整數或分數,為正或負。他舉了一個例子,(a^3+bbx)^{-2/3} 對應 P=a^3Q=bbx/a^3m=-2n=3 [3]。等式右邊的 A 代表第一項 P^{m/n}B 代表第二項 \frac{m}{n}AQ ,餘此類推。換句話說,(P+PQ)^{m/n}=A+B+C+D+\cdots 。從現代人的眼光來看,牛頓描述的公式顯得深奧晦澀。為甚麼 P 要出現兩次?何不將 P+PQ 寫成 P+Q'?再來,為甚麼不展開等號右邊各項,列出 A, B, C, D 的顯式表達?原因無他,牛頓的用意在於簡化計算,稍後將說明。我們要討論的第一個問題,也就是萊布尼茲的疑問:牛頓是怎麼得到這條公式的?

Isaac Newton (1642-1727) From http://www.crystalinks.com/newton.jpg

 
萊布尼茲收到信之後表示希望瞭解更詳細的訊息,牛頓遂於同年10月24日寄出第二封信。他在信裡闡述自己如何受到沃利斯 (John Wallis) 的內插法啟發而推得適切的公式,甚至透露早在12年前,他身為劍橋大學的大學生即已獲知此法。引領牛頓發現二項式定理的前導問題是為了計算圓周率 \pi 。考慮單位圓 x^2+y^2=1 所在的第一象限面積,算式如下:

\displaystyle  \frac{\pi}{4}=\int_0^1\sqrt{1-x^2}dx

牛頓的難題是如何以無窮級數表示 (1-x^2)^{1/2} ?跟隨沃利斯的腳步,他考察較為單純的 (1+x)^r 展開式。當 r 是正整數時,前面幾個式子為

\displaystyle\begin{aligned}  (1+x)^0&=1+0\cdot x+0\cdot x^2+0\cdot x^3+0\cdot x^4+0\cdot x^5+\cdots\\  (1+x)^1&=1+1\cdot x+0\cdot x^2+0\cdot x^3+0\cdot x^4+0\cdot x^5+\cdots\\  (1+x)^2&=1+2\cdot x+1\cdot x^2+0\cdot x^3+0\cdot x^4+0\cdot x^5+\cdots\\  (1+x)^3&=1+3\cdot x+3\cdot x^2+1\cdot x^3+0\cdot x^4+0\cdot x^5+\cdots\\  (1+x)^4&=1+4\cdot x+6\cdot x^2+4\cdot x^3+1\cdot x^4+0\cdot x^5+\cdots\\  (1+x)^5&=1+5\cdot x+10\cdot x^2+10\cdot x^3+5\cdot x^4+1\cdot x^5+\cdots\\  &\vdots  \end{aligned}

 
作為一個物理學家,牛頓習慣採用實驗歸納法。憑藉直覺,他設想 (1+x)^{1/2} 必定介乎 (1+x)^0(1+x)^1 之間,於是列了一張表,將上式的係數抄錄下來,期望通過內插法推得 r=1/2 該列的係數。

\displaystyle  \begin{array}{cccccccc}  r & \vline&1& x & x^2& x^3 & x^4 & x^5\\\hline  0& \vline &1 & 0& 0 & 0 & 0 & 0\\\hline  1/2 &\vline& & & & & & \\\hline  1& \vline&1 & 1& 0 & 0 & 0 & 0\\\hline  3/2 &\vline& & & & & & \\\hline  2&\vline& 1 & 2& 1 & 0 & 0 & 0\\\hline  5/2 &\vline& & & & & & \\\hline  3& \vline&1 & 3& 3 & 1 & 0 & 0\\\hline  7/2 &\vline& & & & & &\\\hline  4&\vline& 1 & 4& 6 & 4 & 1 & 0\\\hline  9/2 &\vline& & & & & &\\\hline  5& \vline&1 & 5& 10 & 10 & 5 & 1\\\hline  \end{array}

牛頓的「不可能的任務」要猜出上表遺漏的部分,這有點像「數獨」(Sudoku) 或「填字遊戲」。先看第一行[4],無疑地,全部常數項的數值應為 1 。第二行 x 項的係數呈現等差數列 1,2,3,4,5 ,意味 (1+x)^rx 項的係數應為 r 。再看第三行 x^2 項的係數 1, 3, 6, 10 ,牛頓知道這是三角形數 T_n (見“等差級數和公式的無言證明”),如下圖所示:

三角形數

三角形數

n 個三角形數的公式是 T_n=n(n+1)/2 ,也就是說,(1+x)^rx^2 項的係數應為 r(r-1)/2 。至此,牛頓沉靜地將數值填入表中:

\displaystyle  \begin{array}{cccccccc}  r &\vline& 1& x & x^2& x^3 & x^4 & x^5\\\hline  0&\vline& 1 & 0& 0 & 0 & 0 & 0\\\hline  1/2 &\vline&1 &1/2 &-1/8 & & & \\\hline  1&\vline& 1 & 1& 0 & 0 & 0 & 0\\\hline  3/2 &\vline& 1&3/2 & 3/8& & & \\\hline  2& \vline&1 & 2& 1 & 0 & 0 & 0\\\hline  5/2 & \vline&1& 5/2& 15/8& & & \\\hline  3& \vline&1 & 3& 3 & 1 & 0 & 0\\\hline  7/2 & \vline&1& 7/2& 35/8& & &\\\hline  4& \vline&1 & 4& 6 & 4 & 1 & 0\\\hline  9/2 & \vline&1& 9/2& 63/8& & &\\\hline  5& \vline&1 & 5& 10 & 10 & 5 & 1\\\hline  \end{array}

像多數的數學家一樣,牛頓相信數學的基本形式無所不在。既然常數項是 1x 項的係數是 rx^2 項的係數是 r(r-1)/2 ,那麼 x^3 項的係數應當為 r(r-1)(r-2)/c 。代入 r=3 ,可得 3\cdot 2\cdot 1/c=1 ,故 c=6 。類似的推論可以持續進行,(1+x)^rx^4 項的係數為 r(r-1)(r-2)(r-3)/4!x^5 項的係數為 r(r-1)(r-2)(r-3)(r-4)/5! 。牛頓將表格填滿,結果如下:

\displaystyle  \begin{array}{cccccccc}  r &\vline& 1& x & x^2& x^3 & x^4 & x^5\\\hline  0&\vline& 1 & 0& 0 & 0 & 0 & 0\\\hline  1/2 &\vline&1 &1/2 &-1/8 &1/16 &-5/128 & 7/256\\\hline  1&\vline& 1 & 1& 0 & 0 & 0 & 0\\\hline  3/2 &\vline& 1&3/2 & 3/8&-1/16 & 3/128& -3/256\\\hline  2&\vline& 1 & 2& 1 & 0 & 0 & 0\\\hline  5/2 &\vline& 1& 5/2& 15/8& 5/16&-5/128 & 3/256\\\hline  3&\vline& 1 & 3& 3 & 1 & 0 & 0\\\hline  7/2 &\vline& 1& 7/2& 35/8& 35/16& 35/128 &-7/256\\\hline  4&\vline& 1 & 4& 6 & 4 & 1 & 0\\\hline  9/2 &\vline& 1& 9/2& 63/8& 105/16& 315/128&63/256\\\hline  5&\vline& 1 & 5& 10 & 10 & 5 & 1\\\hline  \end{array}

從上表可歸結出

\displaystyle  (1+x)^r=1+rx+\frac{r(r-1)}{2!}x^2+\frac{r(r-1)(r-2)}{3!}x^3+\cdots

r 為一實數,k 為一整數,定義二項式係數

\displaystyle  \binom{r}{0}=1,~~\binom{r}{k}=\frac{r(r-1)\cdots(r-k+1)}{k!},~~k\ge 1

牛頓的二項式展開公式可以用二項式係數表示,今人稱之為廣義二項式定理:

\displaystyle  (1+x)^r=\binom{r}{0}+\binom{r}{1}x+\binom{r}{2}x^2+\binom{r}{3}x^3+\cdots

一般所稱的二項式定理專指 r 為正整數的情況。

 
牛頓並沒有提出二項式定理的證明。按照歐幾里得的規範,牛頓的二項式定理不能算是一個「定理」,稱作「牛頓猜想」比較恰當。為了鞏固他的「定理」,牛頓舉例申明算式確實成立。譬如,以 -x^2 取代 x ,可得

\displaystyle\begin{aligned}  (1-x^2)^{1/2}&=1+\frac{1}{2}(-x^2)+\frac{\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)}{2}(-x^2)^2+\frac{\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{6}(-x^2)^3+\cdots\\  &=1-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{8}x^4-\frac{1}{16}x^6-\cdots  \end{aligned}

他將上式等號右邊平方,得到

\displaystyle\begin{aligned}  &\left(1-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{8}x^4-\frac{1}{16}x^6-\cdots\right)\left(1-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{8}x^4-\frac{1}{16}x^6-\cdots\right)\\  &=1-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{8}x^4+\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{8}x^4-\frac{1}{16}x^6+\frac{1}{16}x^6-\frac{1}{16}x^6+\frac{1}{16}x^6-\cdots\\  &=1-x^2+0x^4+0x^6+\cdots  \end{aligned}

 
牛頓另舉了其他例子,並宣稱乘開後確認無誤:

\displaystyle\begin{aligned}  (1-x^2)^{3/2}&=1-\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{8}x^4+\frac{1}{16}x^6+\cdots\\  (1-x^2)^{1/3}&=1-\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{9}x^4-\frac{5}{81}x^6-\cdots\\  \end{aligned}

牛頓相信有限個項成立的公式可以自動延伸至無限的情況,今天的數學家不會認同牛頓處理無窮級數的實驗 (或經驗主義) 手法。即便牛頓論證的邏輯基礎並不穩固,但他的數學直覺與洞察力的確令人激賞。

 
推廣至一般的二項式 (a+b)^r 更讓我們見識到牛頓的功力。牛頓從 (1+x)^r 的展開式觀察出第 k 項可由第 (k-1) 項算得:

\displaystyle  \frac{r(r-1)\cdots(r-k+1)}{k!}x^k=\left(\frac{r(r-1)\cdots(r-k+2)}{(k-1)!}x^{k-1}\right)\left(\frac{r-(k-1)}{k}x\right)

雖然牛頓沒有提出證明,但他明瞭 x 的絕對值應小於 1 以使無窮級數收斂。假設 \vert a\vert>\vert b\vert ,寫出 (a+b)^r=a^r(1+\frac{b}{a})^r ,並令 P=aQ=b/a 。在實際應用中,r 通常為一分數,故令 r=m/n 。這麼一來,二項式定理可以表示為下列迭代公式:

\displaystyle\begin{aligned}  (P+PQ)^{m/n}&=P^{m/n}(1+Q)^{m/n}\\  &=P^{m/n}\left(1+\frac{m}{n}Q+\frac{\frac{m}{n}\left(\frac{m}{n}-1\right)}{2}Q^2+\frac{\frac{m}{n}\left(\frac{m}{n}-1\right)\left(\frac{m}{n}-2\right)}{2\cdot 3}Q^3+\cdots\right)\\  &=P^{m/n}+\frac{m}{n}AQ+\frac{m-n}{2n}BQ+\frac{m-2n}{3n}CQ+\frac{m-3n}{4n}DQ+\cdots  \end{aligned}

其中 A 代表第一項 P^{m/n}B 代表第二項 \frac{m}{n}AQ ,餘此類推。

 
牛頓的二項式定理有甚麼實際用途呢?他在信中提及此定理可以簡化開方根的計算。舉例來說,考慮 \sqrt{8} 。改寫為 \sqrt{8}=\sqrt{9-1}=\sqrt{9-9(1/9)} ,將 P=9Q=-1/9m=1n=2 代入牛頓的定理,計算等號右邊的係數:

\displaystyle\begin{aligned}  A&=9^{1/2}=3\\  B&=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot \left(-\frac{1}{9}\right)=-\frac{1}{6}\\  C&=\frac{1-2}{2\cdot 2}\cdot \left(-\frac{1}{6}\right)\left(-\frac{1}{9}\right)=-\frac{1}{216}\\  D&=\frac{1-2\cdot 2}{3\cdot 2}\left(-\frac{1}{216}\right)\left(-\frac{1}{9}\right)=-\frac{1}{3888}.  \end{aligned}

使用這四個數值項近似,可得

\displaystyle\begin{aligned}  \sqrt{8}&\approx A+B+C+D\\  &=3-\frac{1}{6}-\frac{1}{216}-\frac{1}{3888}=2.828446...  \end{aligned}

此近似值與 \sqrt{8}=2.828427\ldots 的誤差為 10^{-4} 。相同的技巧可以應用於立方根,四次方根,甚至任何次方根的倒數 (m/n 為負數)。考察上面的計算過程,我們不免感到震驚,原來牛頓的迭代公式的意圖在於套用前一個步驟的結果,故使所需的計算量減至最少。三百多年前,在計算機尚未誕生的時代,牛頓的二項式定理不啻是一個偉大的成就。

 
註解與來源:
[1] James R. Newman,The World of Mathematics,第一冊,1956,頁519-524。
[2] 牛頓寫出的公式為

\displaystyle  \overline{P+PQ}\vert\frac{m}{n}=P^{m/n}+\frac{m}{n}AQ+\frac{m-n}{2n}BQ+\frac{m-2n}{3n}CQ+\frac{m-3n}{4n}DQ+\cdots

其中 \overline{P+PQ}\vert\frac{m}{n} 就是今日我們使用的 (P+PQ)^{m/n}
[3] 不知道甚麼原因,牛頓經常把平方項 b^2 寫成 bb ,譬如 (1+xx)^{1/2}
[4] 在台灣,橫向稱為列,縱向稱為行。在中國大陸,橫向稱為行,縱向稱為列。

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3 則回應給 牛頓的二項式定理 (上)

  1. Watt Lin 說:

    「即便牛頓論證的邏輯基礎並不穩固,但他的數學直覺與洞察力的確令人激賞。」
    這句話,很值得深思!

    牛頓似乎還有其他「直覺」,在「哲學」領域。

    古今中外,還沒得到科學嚴謹證明的某些想法,可能被歸類在「哲學」範疇。
    已得到科學詳細證明的部分,很容易歸類在「科學」之中。

    然而「科學」與「哲學」,也有共同的部分,能夠與「直覺」對應,也能嚴謹論證。
    未來,或許陸續有人作一些聯想,與仔細研究,
    循著古人的思考途徑,找尋科學發展的新方向。

  2. Watt Lin 說:

    牛頓經常把平方項 b^2 寫成 bbx^2 寫成 xx
    笛卡兒,也是像牛頓這樣寫。
    到了歐拉(Euler),使用 x^2 之型式,受到後人學習,
    大概因為Euler是個著名的人,影響力大,多個數學符號,是由Euler開始造成流行。
    高斯也像牛頓那樣寫 xx,雖然高斯的年代在歐拉之稍後,然而卻還沒受到歐拉使用符號之影響。
    (參考書目:《改變世界的17個方程式》第102頁,商周出版)

    • ccjou 說:

      謝謝你提供的解釋。在牛頓給萊布尼茲的信中,他交互使用xxx^2,前者約占8~9成。我好奇xx是否有甚麼特殊的用意,或僅僅是一種習慣而已。

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