每週問題 November 4, 2013

這是關於基底的線性組合練習問題。

Let \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\} be a basis for \mathbb{R}^3 and let \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3+\mathbf{v}_4=\mathbf{0}. Prove that every vector \mathbf{x} in \mathbb{R}^3 can be written as \mathbf{x}=c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+c_3\mathbf{v}_3+c_4\mathbf{v}_4, where c_1,c_2,c_3,c_4 are unique real numbers such that c_1+c_2+c_3+c_4=0.

 
參考解答:

首先證明存在性。令 \mathbf{x}=b_1\mathbf{v}_1+b_2\mathbf{v}_2+b_3\mathbf{v}_3。設 c_4=-\frac{1}{4}(b_1+b_2+b_3)c_i=b_i+c_4i=1,2,3,則

\displaystyle\begin{aligned}  \mathbf{x}&=(c_1-c_4)\mathbf{v}_1+(c_2-c_4)\mathbf{v}_2+(c_3-c_4)\mathbf{v}_3\\  &=c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+c_3\mathbf{v}_3-c_4(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3)\\  &=c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+c_3\mathbf{v}_3+c_4\mathbf{v}_4,\end{aligned}

其中 c_1+c_2+c_3+c_4=b_1+b_2+b_3+4c_4=0。接著證明唯一性。假設 \mathbf{x}=d_1\mathbf{v}_1+d_2\mathbf{v}_2+d_3\mathbf{v}_3+d_4\mathbf{v}_4d_1+d_2+d_3+d_4=0。因為 \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}\mathbb{R}^3 的一組基底,

\displaystyle\begin{aligned}  \mathbf{x}&=d_1\mathbf{v}_1+d_2\mathbf{v}_2+d_3\mathbf{v}_3-d_4(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3)\\  &=(d_1-d_4)\mathbf{v}_1+(d_2-d_4)\mathbf{v}_2+(d_3-d_4)\mathbf{v}_3\end{aligned}

可推得 d_i-d_4=b_ii=1,2,3。換句話說,d_1+d_2+d_3+d_4=b_1+b_2+b_3+4d_4=0,故 d_4=c_4,立得 d_i=c_ii=1,2,3

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