牛頓的二項式定理 (下)

1669年，牛頓身為研究生時完成了〈分析學〉(De analysi per aequationes numero terminorum infinitas)，他在論文中提出了一個利用廣義二項式定理計算圓周率的新方法。下圖是拉丁文版的〈分析學〉首頁。論文一開頭，牛頓寫出一個面積公式：

$\displaystyle \int_0^xat^{\frac{m}{n}}dt=\left.\frac{1}{\frac{m}{n}+1}at^{\frac{m}{n}+1}\right|_0^x=\frac{an}{m+n}x^{\frac{m+n}{n}}$

$\displaystyle \int_0^x(t^3+t^{1/2})dt=\int_0^xt^3dt+\int_0^xt^{1/2}dt=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^{3/2}$

$\displaystyle \frac{\pi}{4}=\int_0^1\sqrt{1-x^2}dx$

$\displaystyle (1+x)^r=1+rx+\frac{r(r-1)}{2!}x^2+\frac{r(r-1)r(r-2)}{3!}x^3+\cdots$

$-x^2$ 取代 $x$，設 $r=1/2$，分項積分可得

\displaystyle\begin{aligned} \frac{\pi}{4}&=\int_0^1\left(1-\frac{1}{2}x^2+\frac{\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)}{2!}x^4-\frac{\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{3!}x^6+\cdots\right)dx\\ &=\int_0^1dx-\frac{1}{2}\int_0^1x^2dx+\frac{\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)}{2!}\int_0^1x^4dx-\frac{\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{3!}\int_0^1x^6dx+\cdots\\ &=1-\frac{1}{2\cdot 3}-\frac{1}{2^2\cdot 2!\cdot 5}-\frac{3}{2^3\cdot 3!\cdot 7}-\frac{3\cdot 5}{2^4\cdot 4!\cdot 9}-\frac{3\cdot 5\cdot 7}{2^5\cdot 5!\cdot 11}-\cdots \end{aligned}

$\displaystyle y=\sqrt{x-x^2}=x^{1/2}(1-x)^{1/2},~~0\le x\le 1$

\displaystyle\begin{aligned} \hbox{Area(ABD)}&=\int_0^4x^{1/2}(1-x)^{1/2}dx\\ &=\int_0^{1/4}\left(x^{1/2}-\frac{1}{2}x^{3/2}+\frac{\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)}{2!}x^{5/2}-\frac{\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{3!}x^{7/2}+\cdots\right)dx\\ &=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^{3/2}-\frac{2}{5\cdot 2}\left(\frac{1}{4}\right)^{5/2}-\frac{2}{7\cdot 2^2\cdot 2!}\left(\frac{1}{4}\right)^{7/2}-\frac{2\cdot 3}{9\cdot 2^3\cdot 3!}\left(\frac{1}{4}\right)^{9/2}\\ &~~~~-\frac{2\cdot 3\cdot 5}{11\cdot 2^4\cdot 4!}\left(\frac{1}{4}\right)^{11/2}-\cdots\\ &=\frac{1}{3\cdot 2^2}-\frac{1}{5\cdot 2^5}-\frac{1}{7\cdot 2^8\cdot 2!}-\frac{3}{9\cdot 2^{11}\cdot 3!}-\frac{3\cdot 5}{11\cdot 2^{14}\cdot 4!}-\cdots\\ &=\frac{1}{12}-\frac{1}{160}-\sum_{k=2}^\infty\frac{(2k-3)!}{2^{4k}k!(k-2)!(2k+3)}. \end{aligned}

$\displaystyle \hbox{Area(ABD)}=\frac{\pi}{24}-\frac{\sqrt{3}}{32}$

\displaystyle\begin{aligned} \sqrt{3}&=2\sqrt{\frac{3}{4}}=2\left(1-\frac{1}{4}\right)^{1/2}\\ &=2\left(1-\frac{1}{2\cdot 4}-\frac{1}{2^2\cdot 4^2\cdot 2!}-\frac{3}{2^3\cdot 4^3\cdot 3!}-\frac{3\cdot 5}{2^4\cdot 4^4\cdot 4!}-\cdots\right)\\ &=2\left(1-\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2^6\cdot 2!}-\frac{3}{2^9\cdot 3!}-\frac{3\cdot 5}{2^{12}\cdot 4!}-\cdots\right)\\ &=2\left(\frac{7}{8}-\sum_{k=2}^\infty\frac{(2k-3)!}{2^{4k-2}k!(k-2)!}\right) \end{aligned}

\displaystyle\begin{aligned} \pi&=24\hbox{Area(ABD)}+\frac{3\sqrt{3}}{4}\\ &=24\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{160}-\sum_{k=2}^\infty\frac{(2k-3)!}{2^{4k}k!(k-2)!(2k+3)}\right)+\frac{3}{2}\left(\frac{7}{8}-\sum_{k=2}^\infty\frac{(2k-3)!}{2^{4k-2}k!(k-2)!}\right)\\ &=\frac{253}{80}-6\sum_{k=2}^\infty\frac{(2k-3)!(2k+7)}{2^{4k}k!(k-2)!(2k+3)} .\end{aligned}

[1] Michael White，Isaac Newton: The Last Sorcerer，1999年，頁43。
[2] William Dunham，Journey Through Genius: The Great Theorems of Mathematics，中文版《天才之旅》，1999年，頁186。
[3] 維基百科：倫敦大瘟疫
[4] 維基百科：艾薩克·牛頓
[5] 維基百科：倫敦大火
[6] 同 [2]，頁190。
[7] 同 [2]，頁203。
[8] 同 [2]，頁197-198。
[9] 《牛頓：天體力學的新紀元》，Jean-Pierre Maury 原著，林成勤譯，時報文化，1995年，頁122-123。

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3 則回應給 牛頓的二項式定理 (下)

1. Watt Lin 說：

有一本書《π的故事》由凡異出版社印行，民國68年初版，我買到的是民國73年的第三版，書中第113頁到123頁，描述牛頓計算圓周率的方法。
其中有幾個段落，我印象深刻，今天看了《現代啟示錄》的新文章，之後把《π的故事》拿出來再看一看。
第118頁：
「對牛頓這種超人來說，計算 π不過是彫蟲小技。在他的 “求導數與無窮級數” 書中，他只花了四行，還謙稱是 “順便一提” ，就一口氣算出十六位π的數字。」
第121頁：
「實際上，牛頓是在算別的東西，而π只不過是計算中碰巧出現的副產品。 “巨人丟的麵包屑都有石頭那麼大” 。」

2. ccjou 說：

「他只花了四行，還謙稱是 “順便一提” ，就一口氣算出十六位π的數字。」這個說法有點誇張。

縱使迭代前一步驟的結果，我使用計算機算了6個項就放棄了。下面這段視頻解釋牛頓在發現二項式定理的過程中做了大量的計算和比對工作。

這一個視頻顯示牛頓使用內插法猜測二項式係數的手稿(全螢幕顯示較容易看清表格內容)。牛頓非常用功，現存的手稿顯示的都是寫滿密密麻麻的文字或算式。

3. Watt Lin 說：

「他只花了四行，還謙稱是 “順便一提” ，就一口氣算出十六位π的數字。」這個說法有點誇張。
《π的故事》由外國書翻譯，書本結尾，列出的參考書目，全是外國書，中文版的譯者，翻譯已經很辛苦，大概沒時間去查閱比對參考資料。
我推測，或許牛頓在兩份以上的著作，描寫圓周率的計算，其中一份簡單描述，「只花了四行」。
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另外，我由交通大學開放式課程當中，聽到林琦焜教授講的話，現代學生，看到古代的數學家流傳至今的方法，可能會以為那些數學家都是天才，簡短一兩頁就完成證明或計算，實際上，可能是累積許多年，反覆嘗試各種錯誤與失敗，那些算錯、證錯的紙張，不會流傳後世。
著名的數學式，可能是歷盡千辛萬苦得來的。
這項觀念，我很認同！