三角圖案矩陣的逆矩陣

本文的閱讀等級:初級

A=[a_{ij}] 為一個 n\times n 階矩陣。若所有的 i>j 滿足 a_{ij}=0,則 A 稱為上三角矩陣;若所有的 i<j 滿足 a_{ij}=0,則 A 稱為下三角矩陣。上三角矩陣的逆矩陣仍為上三角矩陣 (見“三角矩陣的逆矩陣”)。因為 (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T,下三角矩陣的逆矩陣也是下三角矩陣。在不失一般性的原則下,以下討論限定於下三角矩陣。若下三角矩陣 A 是可逆的,則 A 的主對角元必不為零,且 (A^{-1})_{ii}=1/a_{ii}i=1,\ldots,n。少數的下三角矩陣的逆矩陣無須計算即可求得。如果所有的主對角元為 1 且僅有一行不為零,稱為原子下三角矩陣,逆矩陣可由反轉非主對角元的正負號得到,例如,

\displaystyle  \begin{bmatrix}  1&0&0&0&0\\  0&1&0&0&0\\  0&2&1&0&0\\  0&3&0&1&0\\  0&4&0&0&1  \end{bmatrix}^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{crccc}  1&0&0&0&0\\  0&1&0&0&0\\  0&-2&1&0&0\\  0&-3&0&1&0\\  0&-4&0&0&1  \end{array}\!\!\right]

本文介紹一些具有特殊圖案的下三角矩陣的逆矩陣。以下設 A=[a_{ij}]B=[b_{ij}] 為下三角矩陣。所有的例子表示為 A^{-1}=B,並給出 AB=I 的推導證明。因為 AB 是下三角矩陣,故僅須證明對於 i\ge j(AB)_{ij}=\delta_{ij},其中 \delta_{ij} 為 Kronecker 記號:\delta_{ij}=1i=j\delta_{ij}=0i\neq j

 
例一

\displaystyle  \begin{bmatrix}  1&0&0&0&0\\  1&1&0&0&0\\  1&2&1&0&0\\  1&3&3&1&0\\  1&4&6&4&1  \end{bmatrix}^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{rrrrc}  1&0&0&0&0\\  -1&1&0&0&0\\  1&-2&1&0&0\\  -1&3&-3&1&0\\  1&-4&6&-4&1  \end{array}\!\!\right]

這種形式的下三角矩陣 A 稱為帕斯卡矩陣,定義如下:對於 i\ge ja_{ij}=\binom{i-1}{j-1}。帕斯卡矩陣的逆矩陣 B 各元為 b_{ij}=(-1)^{i+j}\binom{i-1}{j-1},證明見“特殊矩陣 (15):Pascal 矩陣 (上)”。

 
例二

\displaystyle  \begin{bmatrix}  1&0&0&0&0\\  2&1&0&0&0\\  3&2&1&0&0\\  4&3&2&1&0\\  5&4&3&2&1  \end{bmatrix}^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{rrrrc}  1&0&0&0&0\\  -2&1&0&0&0\\  1&-2&1&0&0\\  0&1&-2&1&0\\  0&0&1&-2&1  \end{array}\!\!\right]

運用高斯─約當法可求出 A 的逆矩陣 (見“高斯─約當法”)。以 4\times 4 階矩陣為例,運算次序由下而上,過程如下:

\displaystyle\begin{aligned}  \left[\!\!\begin{array}{ccccccccc}  1&0&0&0&\vline&1&0&0&0\\  2&1&0&0&\vline&0&1&0&0\\  3&2&1&0&\vline&0&0&1&0\\  4&3&2&1&\vline&0&0&0&1  \end{array}\!\!\right]&\to\left[\!\!\begin{array}{cccccccrc}  1&0&0&0&\vline&1&0&0&0\\  2&1&0&0&\vline&0&1&0&0\\  3&2&1&0&\vline&0&0&1&0\\  1&1&1&1&\vline&0&0&-1&1  \end{array}\!\!\right]\to\cdots\\  &\to\left[\!\!\begin{array}{cccccrrrc}  1&0&0&0&\vline&1&0&0&0\\  1&1&0&0&\vline&-1&1&0&0\\  1&1&1&0&\vline&0&-1&1&0\\  1&1&1&1&\vline&0&0&-1&1  \end{array}\!\!\right]\\  &\to\left[\!\!\begin{array}{cccccrrrc}  1&0&0&0&\vline&1&0&0&0\\  1&1&0&0&\vline&-1&1&0&0\\  1&1&1&0&\vline&0&-1&1&0\\  0&0&0&1&\vline&0&1&-2&1  \end{array}\!\!\right]\to\cdots\\  &\to\left[\!\!\begin{array}{cccccrrrc}  1&0&0&0&\vline&1&0&0&0\\  0&1&0&0&\vline&-2&1&0&0\\  0&0&1&0&\vline&1&-2&1&0\\  0&0&0&1&\vline&0&1&-2&1  \end{array}\!\!\right]  \end{aligned}

定義 n\times n 階下三角矩陣 A_n 如下:對於 i\ge ja_{ij}=i-j+1。矩陣 A_n 的第 i 列為遞減數列 i, i-1,\ldots,1,之後填滿 n-i0。定義 n\times n 階矩陣 B_n 如下:b_{ii}=11\le i\le nb_{j+1,j}=-21\le j\le n-1b_{k+2,k}=11\le k\le n-2;其餘所有元為零。證明採用數學歸納法。當 n=1,命題成立。假設當 n=k 時,A_kB_k=I_k。利用分塊矩陣計算

\displaystyle  A_{k+1}B_{k+1}=\begin{bmatrix}  A_k&\mathbf{0}\\  \mathbf{a}_k^T&1  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  B_k&\mathbf{0}\\  \mathbf{b}_k^T&1  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  A_kB_k&0\\  \mathbf{a}^T_kB_k+\mathbf{b}^T_k&1  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  I_k&\mathbf{0}\\  \mathbf{a}^T_kB_k+\mathbf{b}^T_k&1  \end{bmatrix}

其中

\displaystyle\begin{aligned}  \mathbf{a}^T_kB_k&=\begin{bmatrix}  n&n-1&\cdots&4&3&2  \end{bmatrix}  \left[\!\!\begin{array}{rccrrc}  1&0&\cdots&0&0&0\\  -2&1&\cdots&0&0&0\\  \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\  0&0&\cdots&1&0&0\\  0&0&\cdots&-2&1&0\\  0&0&\cdots&1&-2&1  \end{array}\!\!\right]\\  &=\begin{bmatrix}  0&0&\cdots&0&-1&2  \end{bmatrix}=-\mathbf{b}_k^T,\end{aligned}

因此證明 A_{k+1}B_{k+1}=I_{k+1}

 
例三

\displaystyle  \left[\!\!\begin{array}{ccccc}  1&0&0&0&0\\[0.3em]  \frac{1}{5}&1&0&0&0\\[0.3em]  \frac{1}{4}&\frac{1}{4}&1&0&0\\[0.3em]  \frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&1&0\\[0.3em]  \frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&1  \end{array}\!\!\right]^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{rrrrc}  1&0&0&0&0\\[0.3em]  -\frac{1}{5}&1&0&0&0\\[0.3em]  -\frac{1}{5}&-\frac{1}{4}&1&0&0\\[0.3em]  -\frac{1}{5}&-\frac{1}{4}&-\frac{1}{3}&1&0\\[0.3em]  -\frac{1}{5}&-\frac{1}{4}&-\frac{1}{3}&-\frac{1}{2}&1  \end{array}\!\!\right]

定義 n\times n 階下三角矩陣 AB 如下:若 i>j,則 a_{ij}=(n+2-i)^{-1},且 a_{ii}=11\le i\le n;若 i>j,則 b_{ij}=-(n+1-j)^{-1},且 b_{ii}=11\le i\le n。明顯地,AB 的主對角元皆為 1。若 i>j,則

\displaystyle\begin{aligned}  (AB)_{ij}&=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}\\  &=\sum_{k=1}^{j-1}a_{ik}b_{kj}+a_{ij}b_{jj}+\sum_{k=j+1}^{i-1}a_{ik}b_{kj}+a_{ii}b_{ij}+\sum_{k=i+1}^{n}a_{ik}b_{kj}\\  &=0+\frac{1}{n+2-i}-\sum_{k=j+1}^{i-1}\frac{1}{(n+2-i)(n+1-j)}-\frac{1}{n+1-j}+0\\  &=\frac{1}{n+2-i}-\frac{1}{n+1-j}-\frac{i-j-1}{(n+2-i)(n+1-j)}=0.\end{aligned}

 
例四

\displaystyle\begin{aligned}  &\begin{bmatrix}  x_1y_1&0&0&\cdots&0&0\\  x_2y_1&x_2y_2&0&\cdots&0&0\\  x_3y_1&x_3y_2&x_3y_3&\cdots&0&0\\  \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\  x_{n-1}y_1&x_{n-1}y_2&x_{n-1}y_3&\cdots&x_{n-1}y_{n-1}&0\\  x_ny_1&x_ny_2&x_ny_3&\cdots&x_{n}y_{n-1}&x_ny_n  \end{bmatrix}^{-1}\\  &~~=\begin{bmatrix}  (x_1y_1)^{-1}&0&0&\cdots&0&0\\  -(y_2x_1)^{-1}&(x_2y_2)^{-1}&0&\cdots&0&0\\  0&-(y_3x_2)^{-1}&(x_3y_3)^{-1}&\cdots&0&0\\  \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\  0&0&0&\cdots&(x_{n-1}y_{n-1})^{-1}&0\\  0&0&0&\cdots&-(y_{n}x_{n-1})^{-1}&(x_ny_n)^{-1}  \end{bmatrix}  \end{aligned}

上式中,所有的 x_iy_i 皆不為零。以 n=5 為例。若 x_i=iy_i=11\le i\le n,則

\displaystyle  \begin{bmatrix}  1&0&0&0&0\\  2&2&0&0&0\\  3&3&3&0&0\\  4&4&4&4&0\\  5&5&5&5&5  \end{bmatrix}^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{rrrrc}  1&0&0&0&0\\[0.3em]  -1&\frac{1}{2}&0&0&0\\[0.3em]  0&-\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&0&0\\[0.3em]  0&0&-\frac{1}{3}&\frac{1}{4}&0\\[0.3em]  0&0&0&-\frac{1}{4}&\frac{1}{5}  \end{array}\!\!\right]

x_i=1y_i=i1\le i\le n,則

\displaystyle  \begin{bmatrix}  1&0&0&0&0\\  1&2&0&0&0\\  1&2&3&0&0\\  1&2&3&4&0\\  1&2&3&4&5  \end{bmatrix}^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{rrrrc}  1&0&0&0&0\\[0.3em]  -\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0&0&0\\[0.3em]  0&-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&0&0\\[0.3em]  0&0&-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&0\\[0.3em]  0&0&0&-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}  \end{array}\!\!\right]

x_i=iy_i=1/i1\le i\le n,則

\displaystyle  \begin{bmatrix}  1&0&0&0&0\\  2&1&0&0&0\\[0.3em]  3&\frac{3}{2}&1&0&0\\[0.3em]  4&\frac{4}{2}&\frac{4}{3}&1&0\\[0.3em]  5&\frac{5}{2}&\frac{5}{3}&\frac{5}{4}&1  \end{bmatrix}^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{rrrrc}  1&0&0&0&0\\  -2&1&0&0&0\\[0.3em]  0&-\frac{3}{2}&1&0&0\\[0.3em]  0&0&-\frac{4}{3}&1&0\\[0.3em]  0&0&0&-\frac{5}{4}&1  \end{array}\!\!\right]

x_i=1/iy_i=i1\le i\le n,則

\displaystyle  \begin{bmatrix}  1&0&0&0&0\\[0.3em]  \frac{1}{2}&1&0&0&0\\[0.3em]  \frac{1}{3}&\frac{2}{3}&1&0&0\\[0.3em]  \frac{1}{4}&\frac{2}{4}&\frac{3}{4}&1&0\\[0.3em]  \frac{1}{5}&\frac{2}{5}&\frac{3}{5}&\frac{4}{5}&1  \end{bmatrix}^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{rrrrc}  1&0&0&0&0\\[0.3em]  -\frac{1}{2}&1&0&0&0\\[0.3em]  0&-\frac{2}{3}&1&0&0\\[0.3em]  0&0&-\frac{3}{4}&1&0\\[0.3em]  0&0&0&-\frac{4}{5}&1  \end{array}\!\!\right]

定義 n\times n 階下三角矩陣 A 如下:對於 i\ge ja_{ij}=x_iy_j。定義 n\times n 階矩陣 B 如下:b_{ii}=(x_iy_i)^{-1}1\le i\le nb_{j+1,j}=-(y_{j+1}x_j)^{-1}1\le j\le n-1;其餘所有元為零。顯然 AB 的主對角元全部等於 1。若 i>j,則

\displaystyle\begin{aligned}  (AB)_{ij}&=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}\\  &=\sum_{k=1}^{j-1}a_{ik}b_{kj}+a_{ij}b_{jj}+a_{i,j+1}b_{j+1,j}+\sum_{k=j+2}^{n}a_{ik}b_{kj}\\  &=0+\frac{x_iy_j}{x_jy_j}-\frac{x_iy_{j+1}}{y_{j+1}x_j}+0=0.  \end{aligned}

 
最後提供兩個問題給讀者自行練習:

\displaystyle  \left[\!\!\begin{array}{crrrr}  1&0&0&0&0\\  2&6&0&0&0\\  3&9&15&0&0\\  4&12&20&28&0\\  5&15&25&35&45  \end{array}\!\!\right]^{-1}=?

\displaystyle  \begin{bmatrix}  1&0&0&0&0\\[0.3em]  \frac{1}{2}&\frac{3}{4}&0&0&0\\[0.3em]  \frac{1}{3}&\frac{3}{6}&\frac{5}{9}&0&0\\[0.3em]  \frac{1}{4}&\frac{3}{8}&\frac{5}{12}&\frac{7}{16}&0\\[0.3em]  \frac{1}{5}&\frac{3}{10}&\frac{5}{15}&\frac{7}{20}&\frac{9}{25}  \end{bmatrix}^{-1}=?

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