三角圖案矩陣的逆矩陣

本文的閱讀等級：初級

令 $A=[a_{ij}]$ 為一個 $n\times n$ 階矩陣。若所有的 $i>j$ 滿足 $a_{ij}=0$ ，則 $A$ 稱為上三角矩陣；若所有的 $i<j$ 滿足 $a_{ij}=0$ ，則 $A$ 稱為下三角矩陣。上三角矩陣的逆矩陣仍為上三角矩陣 (見“三角矩陣的逆矩陣”)。因為 $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$ ，下三角矩陣的逆矩陣也是下三角矩陣。在不失一般性的原則下，以下討論限定於下三角矩陣。若下三角矩陣 $A$ 是可逆的，則 $A$ 的主對角元必不為零，且 $(A^{-1})_{ii}=1/a_{ii}$ ， $i=1,\ldots,n$ 。少數的下三角矩陣的逆矩陣無須計算即可求得。如果所有的主對角元為 $1$ 且僅有一行不為零，稱為原子下三角矩陣，逆矩陣可由反轉非主對角元的正負號得到，例如，

$\displaystyle \begin{bmatrix} 1&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&2&1&0&0\\ 0&3&0&1&0\\ 0&4&0&0&1 \end{bmatrix}^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{crccc} 1&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&-2&1&0&0\\ 0&-3&0&1&0\\ 0&-4&0&0&1 \end{array}\!\!\right]$ 。

本文介紹一些具有特殊圖案的下三角矩陣的逆矩陣。以下設 $A=[a_{ij}]$ 和 $B=[b_{ij}]$ 為下三角矩陣。所有的例子表示為 $A^{-1}=B$ ，並給出 $AB=I$ 的推導證明。因為 $AB$ 是下三角矩陣，故僅須證明對於 $i\ge j$ ， $(AB)_{ij}=\delta_{ij}$ ，其中 $\delta_{ij}$ 為 Kronecker 記號： $\delta_{ij}=1$ 若 $i=j$ ； $\delta_{ij}=0$ 若 $i\neq j$ 。

例一：

$\displaystyle \begin{bmatrix} 1&0&0&0&0\\ 1&1&0&0&0\\ 1&2&1&0&0\\ 1&3&3&1&0\\ 1&4&6&4&1 \end{bmatrix}^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{rrrrc} 1&0&0&0&0\\ -1&1&0&0&0\\ 1&-2&1&0&0\\ -1&3&-3&1&0\\ 1&-4&6&-4&1 \end{array}\!\!\right]$

這種形式的下三角矩陣 $A$ 稱為帕斯卡矩陣，定義如下：對於 $i\ge j$ ， $a_{ij}=\binom{i-1}{j-1}$ 。帕斯卡矩陣的逆矩陣 $B$ 各元為 $b_{ij}=(-1)^{i+j}\binom{i-1}{j-1}$ ，證明見“特殊矩陣 (15)：Pascal 矩陣 (上)”。

例二：

$\displaystyle \begin{bmatrix} 1&0&0&0&0\\ 2&1&0&0&0\\ 3&2&1&0&0\\ 4&3&2&1&0\\ 5&4&3&2&1 \end{bmatrix}^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{rrrrc} 1&0&0&0&0\\ -2&1&0&0&0\\ 1&-2&1&0&0\\ 0&1&-2&1&0\\ 0&0&1&-2&1 \end{array}\!\!\right]$

運用高斯─約當法可求出 $A$ 的逆矩陣 (見“高斯─約當法”)。以 $4\times 4$ 階矩陣為例，運算次序由下而上，過程如下：

$\displaystyle\begin{aligned} \left[\!\!\begin{array}{ccccccccc} 1&0&0&0&\vline&1&0&0&0\\ 2&1&0&0&\vline&0&1&0&0\\ 3&2&1&0&\vline&0&0&1&0\\ 4&3&2&1&\vline&0&0&0&1 \end{array}\!\!\right]&\to\left[\!\!\begin{array}{cccccccrc} 1&0&0&0&\vline&1&0&0&0\\ 2&1&0&0&\vline&0&1&0&0\\ 3&2&1&0&\vline&0&0&1&0\\ 1&1&1&1&\vline&0&0&-1&1 \end{array}\!\!\right]\to\cdots\\ &\to\left[\!\!\begin{array}{cccccrrrc} 1&0&0&0&\vline&1&0&0&0\\ 1&1&0&0&\vline&-1&1&0&0\\ 1&1&1&0&\vline&0&-1&1&0\\ 1&1&1&1&\vline&0&0&-1&1 \end{array}\!\!\right]\\ &\to\left[\!\!\begin{array}{cccccrrrc} 1&0&0&0&\vline&1&0&0&0\\ 1&1&0&0&\vline&-1&1&0&0\\ 1&1&1&0&\vline&0&-1&1&0\\ 0&0&0&1&\vline&0&1&-2&1 \end{array}\!\!\right]\to\cdots\\ &\to\left[\!\!\begin{array}{cccccrrrc} 1&0&0&0&\vline&1&0&0&0\\ 0&1&0&0&\vline&-2&1&0&0\\ 0&0&1&0&\vline&1&-2&1&0\\ 0&0&0&1&\vline&0&1&-2&1 \end{array}\!\!\right] \end{aligned}$

定義 $n\times n$ 階下三角矩陣 $A_n$ 如下：對於 $i\ge j$ ， $a_{ij}=i-j+1$ 。矩陣 $A_n$ 的第 $i$ 列為遞減數列 $i, i-1,\ldots,1$ ，之後填滿 $n-i$ 個 $0$ 。定義 $n\times n$ 階矩陣 $B_n$ 如下： $b_{ii}=1$ ， $1\le i\le n$ ； $b_{j+1,j}=-2$ ， $1\le j\le n-1$ ； $b_{k+2,k}=1$ ， $1\le k\le n-2$ ；其餘所有元為零。證明採用數學歸納法。當 $n=1$ ，命題成立。假設當 $n=k$ 時， $A_kB_k=I_k$ 。利用分塊矩陣計算

$\displaystyle A_{k+1}B_{k+1}=\begin{bmatrix} A_k&\mathbf{0}\\ \mathbf{a}_k^T&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} B_k&\mathbf{0}\\ \mathbf{b}_k^T&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A_kB_k&0\\ \mathbf{a}^T_kB_k+\mathbf{b}^T_k&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I_k&\mathbf{0}\\ \mathbf{a}^T_kB_k+\mathbf{b}^T_k&1 \end{bmatrix}$ ，

其中

$\displaystyle\begin{aligned} \mathbf{a}^T_kB_k&=\begin{bmatrix} n&n-1&\cdots&4&3&2 \end{bmatrix} \left[\!\!\begin{array}{rccrrc} 1&0&\cdots&0&0&0\\ -2&1&\cdots&0&0&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&0&0\\ 0&0&\cdots&-2&1&0\\ 0&0&\cdots&1&-2&1 \end{array}\!\!\right]\\ &=\begin{bmatrix} 0&0&\cdots&0&-1&2 \end{bmatrix}=-\mathbf{b}_k^T,\end{aligned}$

因此證明 $A_{k+1}B_{k+1}=I_{k+1}$ 。

例三：

$\displaystyle \left[\!\!\begin{array}{ccccc} 1&0&0&0&0\\[0.3em] \frac{1}{5}&1&0&0&0\\[0.3em] \frac{1}{4}&\frac{1}{4}&1&0&0\\[0.3em] \frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&1&0\\[0.3em] \frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&1 \end{array}\!\!\right]^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{rrrrc} 1&0&0&0&0\\[0.3em] -\frac{1}{5}&1&0&0&0\\[0.3em] -\frac{1}{5}&-\frac{1}{4}&1&0&0\\[0.3em] -\frac{1}{5}&-\frac{1}{4}&-\frac{1}{3}&1&0\\[0.3em] -\frac{1}{5}&-\frac{1}{4}&-\frac{1}{3}&-\frac{1}{2}&1 \end{array}\!\!\right]$

定義 $n\times n$ 階下三角矩陣 $A$ 和 $B$ 如下：若 $i>j$ ，則 $a_{ij}=(n+2-i)^{-1}$ ，且 $a_{ii}=1$ ， $1\le i\le n$ ；若 $i>j$ ，則 $b_{ij}=-(n+1-j)^{-1}$ ，且 $b_{ii}=1$ ， $1\le i\le n$ 。明顯地， $AB$ 的主對角元皆為 $1$ 。若 $i>j$ ，則

$\displaystyle\begin{aligned} (AB)_{ij}&=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}\\ &=\sum_{k=1}^{j-1}a_{ik}b_{kj}+a_{ij}b_{jj}+\sum_{k=j+1}^{i-1}a_{ik}b_{kj}+a_{ii}b_{ij}+\sum_{k=i+1}^{n}a_{ik}b_{kj}\\ &=0+\frac{1}{n+2-i}-\sum_{k=j+1}^{i-1}\frac{1}{(n+2-i)(n+1-j)}-\frac{1}{n+1-j}+0\\ &=\frac{1}{n+2-i}-\frac{1}{n+1-j}-\frac{i-j-1}{(n+2-i)(n+1-j)}=0.\end{aligned}$

例四：

$\displaystyle\begin{aligned} &\begin{bmatrix} x_1y_1&0&0&\cdots&0&0\\ x_2y_1&x_2y_2&0&\cdots&0&0\\ x_3y_1&x_3y_2&x_3y_3&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ x_{n-1}y_1&x_{n-1}y_2&x_{n-1}y_3&\cdots&x_{n-1}y_{n-1}&0\\ x_ny_1&x_ny_2&x_ny_3&\cdots&x_{n}y_{n-1}&x_ny_n \end{bmatrix}^{-1}\\ &~~=\begin{bmatrix} (x_1y_1)^{-1}&0&0&\cdots&0&0\\ -(y_2x_1)^{-1}&(x_2y_2)^{-1}&0&\cdots&0&0\\ 0&-(y_3x_2)^{-1}&(x_3y_3)^{-1}&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&(x_{n-1}y_{n-1})^{-1}&0\\ 0&0&0&\cdots&-(y_{n}x_{n-1})^{-1}&(x_ny_n)^{-1} \end{bmatrix} \end{aligned}$

上式中，所有的 $x_i$ 和 $y_i$ 皆不為零。以 $n=5$ 為例。若 $x_i=i$ ， $y_i=1$ ， $1\le i\le n$ ，則

$\displaystyle \begin{bmatrix} 1&0&0&0&0\\ 2&2&0&0&0\\ 3&3&3&0&0\\ 4&4&4&4&0\\ 5&5&5&5&5 \end{bmatrix}^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{rrrrc} 1&0&0&0&0\\[0.3em] -1&\frac{1}{2}&0&0&0\\[0.3em] 0&-\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&0&0\\[0.3em] 0&0&-\frac{1}{3}&\frac{1}{4}&0\\[0.3em] 0&0&0&-\frac{1}{4}&\frac{1}{5} \end{array}\!\!\right]$ 。

若 $x_i=1$ ， $y_i=i$ ， $1\le i\le n$ ，則

$\displaystyle \begin{bmatrix} 1&0&0&0&0\\ 1&2&0&0&0\\ 1&2&3&0&0\\ 1&2&3&4&0\\ 1&2&3&4&5 \end{bmatrix}^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{rrrrc} 1&0&0&0&0\\[0.3em] -\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0&0&0\\[0.3em] 0&-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&0&0\\[0.3em] 0&0&-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&0\\[0.3em] 0&0&0&-\frac{1}{5}&\frac{1}{5} \end{array}\!\!\right]$ 。

若 $x_i=i$ ， $y_i=1/i$ ， $1\le i\le n$ ，則

$\displaystyle \begin{bmatrix} 1&0&0&0&0\\ 2&1&0&0&0\\[0.3em] 3&\frac{3}{2}&1&0&0\\[0.3em] 4&\frac{4}{2}&\frac{4}{3}&1&0\\[0.3em] 5&\frac{5}{2}&\frac{5}{3}&\frac{5}{4}&1 \end{bmatrix}^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{rrrrc} 1&0&0&0&0\\ -2&1&0&0&0\\[0.3em] 0&-\frac{3}{2}&1&0&0\\[0.3em] 0&0&-\frac{4}{3}&1&0\\[0.3em] 0&0&0&-\frac{5}{4}&1 \end{array}\!\!\right]$ 。

若 $x_i=1/i$ ， $y_i=i$ ， $1\le i\le n$ ，則

$\displaystyle \begin{bmatrix} 1&0&0&0&0\\[0.3em] \frac{1}{2}&1&0&0&0\\[0.3em] \frac{1}{3}&\frac{2}{3}&1&0&0\\[0.3em] \frac{1}{4}&\frac{2}{4}&\frac{3}{4}&1&0\\[0.3em] \frac{1}{5}&\frac{2}{5}&\frac{3}{5}&\frac{4}{5}&1 \end{bmatrix}^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{rrrrc} 1&0&0&0&0\\[0.3em] -\frac{1}{2}&1&0&0&0\\[0.3em] 0&-\frac{2}{3}&1&0&0\\[0.3em] 0&0&-\frac{3}{4}&1&0\\[0.3em] 0&0&0&-\frac{4}{5}&1 \end{array}\!\!\right]$ 。

定義 $n\times n$ 階下三角矩陣 $A$ 如下：對於 $i\ge j$ ， $a_{ij}=x_iy_j$ 。定義 $n\times n$ 階矩陣 $B$ 如下： $b_{ii}=(x_iy_i)^{-1}$ ， $1\le i\le n$ ； $b_{j+1,j}=-(y_{j+1}x_j)^{-1}$ ， $1\le j\le n-1$ ；其餘所有元為零。顯然 $AB$ 的主對角元全部等於 $1$ 。若 $i>j$ ，則

$\displaystyle\begin{aligned} (AB)_{ij}&=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}\\ &=\sum_{k=1}^{j-1}a_{ik}b_{kj}+a_{ij}b_{jj}+a_{i,j+1}b_{j+1,j}+\sum_{k=j+2}^{n}a_{ik}b_{kj}\\ &=0+\frac{x_iy_j}{x_jy_j}-\frac{x_iy_{j+1}}{y_{j+1}x_j}+0=0. \end{aligned}$

最後提供兩個問題給讀者自行練習：

$\displaystyle \left[\!\!\begin{array}{crrrr} 1&0&0&0&0\\ 2&6&0&0&0\\ 3&9&15&0&0\\ 4&12&20&28&0\\ 5&15&25&35&45 \end{array}\!\!\right]^{-1}=?$

$\displaystyle \begin{bmatrix} 1&0&0&0&0\\[0.3em] \frac{1}{2}&\frac{3}{4}&0&0&0\\[0.3em] \frac{1}{3}&\frac{3}{6}&\frac{5}{9}&0&0\\[0.3em] \frac{1}{4}&\frac{3}{8}&\frac{5}{12}&\frac{7}{16}&0\\[0.3em] \frac{1}{5}&\frac{3}{10}&\frac{5}{15}&\frac{7}{20}&\frac{9}{25} \end{bmatrix}^{-1}=?$

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