每週問題 November 11, 2013

這個問題是利用數學歸納法證明一個特殊形態矩陣的行列式。

Let f(x)=(p_1-x)(p_2-x)\cdots(p_n-x) and let

\displaystyle  A_n=\begin{bmatrix}  p_1&a&a&\cdots&a&a\\  b&p_2&a&\cdots&a&a\\  b&b&p_3&\cdots&a&a\\  \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\  b&b&b&\cdots&p_{n-1}&a\\  b&b&b&\cdots&b&p_n  \end{bmatrix}.

If a\neq b, show that

\displaystyle  \det A_n=\frac{bf(a)-af(b)}{b-a}.

 
參考解答:

使用數學歸納法。若 a\neq b,當 n=1f(x)=(p_1-x),則 \det A_1=p_1

\displaystyle  \frac{bf(a)-af(b)}{b-a}=\frac{b(p_1-a)-a(p_1-b)}{b-a}=p_1

假設當 n=k-1k>1,時命題成立。考慮 \det A_k,將第一行減去第二行,再由第一行展開,如下:

\displaystyle\begin{aligned}  \begin{vmatrix}  p_1&a&a&\cdots&a&a\\  b&p_2&a&\cdots&a&a\\  b&b&p_3&\cdots&a&a\\  \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\  b&b&b&\cdots&p_{k-1}&a\\  b&b&b&\cdots&b&p_k  \end{vmatrix}&=\begin{vmatrix}  p_1-a&a&a&\cdots&a&a\\  b-p_2&p_2&a&\cdots&a&a\\  0&b&p_3&\cdots&a&a\\  \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\  0&b&b&\cdots&p_{k-1}&a\\  0&b&b&\cdots&b&p_k  \end{vmatrix}\\  &=(p_1-a)\begin{vmatrix}  p_2&a&\cdots&a&a\\  b&p_3&\cdots&a&a\\  \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\  b&b&\cdots&p_{k-1}&a\\  b&b&\cdots&b&p_k  \end{vmatrix}\\  &~~~-(b-p_2)\begin{vmatrix}  a&a&\cdots&a&a\\  b&p_3&\cdots&a&a\\  \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\  b&b&\cdots&p_{k-1}&a\\  b&b&\cdots&b&p_k  \end{vmatrix}.  \end{aligned}

上式中,\det A_k 分解為二個形式相同的 k-1 階行列式的組合。令 F(x)=(p_2-x)(p_3-x)\cdots(p_k-x)G(x)=(a-x)(p_3-x)\cdots(p_k-x)。根據歸納假設,可得

\displaystyle  \det A_k=(p_1-a)\left(\frac{bF(a)-aF(b)}{b-a}\right)-(b-p_2)\left(\frac{bG(a)-aG(b)}{b-a}\right)

因為 (p_1-a)F(a)=f(a)G(a)=0,上式可化簡為

\displaystyle\begin{aligned}  \det A_k&=\frac{bf(a)-a(p_1-a)\prod_{j=2}^k(p_j-b)-a(a-b)\prod_{j=2}^k(p_j-b)}{b-a}\\  &=\frac{bf(a)-a(p_1-a+a-b)\prod_{j=2}^k(p_j-b)}{b-a}\\  &=\frac{bf(a)-af(b)}{b-a},\end{aligned}

因此得證。

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