## 每週問題 November 18, 2013

Suppose $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ are nonzero vectors in $\mathbb{R}^n$. Show that $A=\mathbf{a}\mathbf{b}^T$ is diagonalizable if and only if $\mathbf{b}^T\mathbf{a}\neq 0$.

$\displaystyle C(A)=\{A\mathbf{x}\vert\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\}=\hbox{span}\{\mathbf{a}\}$

$\mathbf{x}\in\hbox{span}\{\mathbf{b}\}^\perp$，則 $A\mathbf{x}=\mathbf{a}\mathbf{b}^T\mathbf{x}=\mathbf{0}$。因此，$A$ 有特徵值 $0$，特徵空間為 $\hbox{span}\{\mathbf{b}\}^{\perp}$。下面分開兩個情況討論。若 $\mathbf{b}^T\mathbf{a}\neq 0$，即 $\mathbf{a}\notin\hbox{span}\{\mathbf{b}\}^{\perp}$，則 $A\mathbf{a}=\mathbf{a}\mathbf{b}^T\mathbf{a}=(\mathbf{b}^T\mathbf{a})\mathbf{a}$ 表示 $\mathbf{b}^T\mathbf{a}$$A$ 的一個非零特徵值，$\mathbf{a}$ 是對應的特徵向量。因為 $\hbox{span}\{\mathbf{b}\}^{\perp}\oplus\hbox{span}\{\mathbf{a}\}=\mathbb{R}^n$，故 $A$ 可對角化。若 $\mathbf{b}^T\mathbf{a}=0$，即 $\hbox{span}\{\mathbf{a}\}\subset\hbox{span}\{\mathbf{b}\}^{\perp}$，這表示 $A$ 不存在非零特徵值。但對應特徵值 $0$ 的特徵空間 $\hbox{span}\{\mathbf{b}\}^{\perp}$ 不等於 $\mathbb{R}^n$，也就是說，幾何重數小於代數重數，故 $A$ 不可對角化。

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