每週問題 November 18, 2013

這是可對角化矩陣問題。

Suppose \mathbf{a} and \mathbf{b} are nonzero vectors in \mathbb{R}^n. Show that A=\mathbf{a}\mathbf{b}^T is diagonalizable if and only if \mathbf{b}^T\mathbf{a}\neq 0.

 
參考解答:

首先我們要知道 A 的行空間是

\displaystyle  C(A)=\{A\mathbf{x}\vert\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\}=\hbox{span}\{\mathbf{a}\}

\mathbf{x}\in\hbox{span}\{\mathbf{b}\}^\perp,則 A\mathbf{x}=\mathbf{a}\mathbf{b}^T\mathbf{x}=\mathbf{0}。因此,A 有特徵值 0,特徵空間為 \hbox{span}\{\mathbf{b}\}^{\perp}。下面分開兩個情況討論。若 \mathbf{b}^T\mathbf{a}\neq 0,即 \mathbf{a}\notin\hbox{span}\{\mathbf{b}\}^{\perp},則 A\mathbf{a}=\mathbf{a}\mathbf{b}^T\mathbf{a}=(\mathbf{b}^T\mathbf{a})\mathbf{a} 表示 \mathbf{b}^T\mathbf{a}A 的一個非零特徵值,\mathbf{a} 是對應的特徵向量。因為 \hbox{span}\{\mathbf{b}\}^{\perp}\oplus\hbox{span}\{\mathbf{a}\}=\mathbb{R}^n,故 A 可對角化。若 \mathbf{b}^T\mathbf{a}=0,即 \hbox{span}\{\mathbf{a}\}\subset\hbox{span}\{\mathbf{b}\}^{\perp},這表示 A 不存在非零特徵值。但對應特徵值 0 的特徵空間 \hbox{span}\{\mathbf{b}\}^{\perp} 不等於 \mathbb{R}^n,也就是說,幾何重數小於代數重數,故 A 不可對角化。

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