每週問題 November 25, 2013

這是有關奇異值分解於最大化跡數的應用問題。

Let A be an n\times n real matrix, and let A=U\Sigma V^T be a singular value decomposition of A. Note that U and V are n\times n real orthogonal matrices, and \Sigma=\hbox{diag}(\sigma_1,\ldots,\sigma_n), where \{\sigma_i\} is the set of singular values of A. Let Q be an n\times n real orthogonal matrix. Show that \hbox{trace}(AQ) is maximized and AQ is a real symmetric positive semidefinite matrix if Q=VU^T.

 
參考解答:

使用奇異值分解,以及跡數循環不變性,可得

\displaystyle  \hbox{trace}(AQ)=\hbox{trace}(U\Sigma V^TQ)=\hbox{trace}(\Sigma V^TQU)=\sum_{i=1}^n\sigma_i(V^TQU)_{ii}

其中 V^TQU 是正交矩陣 (因為正交矩陣的乘積仍為正交矩陣)。因為每一 \sigma_i\ge 0,上式的最大值發生於所有 (V^TQU)_{ii}=1,即 V^TQU=I,或 Q=VU^T。在此情況下,\hbox{trace}(AQ)=\sum_{i=1}^n\sigma_iAQ=(U\Sigma V^T)VU^T=U\Sigma U^T 是實對稱半正定矩陣,因為 AQ 相似於 \Sigma,兩矩陣有相同的特徵值 \sigma_i\ge 0i=1,\ldots,n

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