特殊矩陣 (22):對合矩陣

本文的閱讀等級:中級

對合函數 (involution) 是逆函數等於自身的函數,也就是說,對合函數 f 的定義域中所有 x 滿足 f(f(x))=x。令 A 為一個定義於 \mathbb{R}\mathbb{C}n\times n 階矩陣。若 A^2=I,即 A^{-1}=A,則 A 稱為對合 (involutory) 矩陣。換句話說,對合矩陣是單位矩陣的所有平方根。常見的對合矩陣包括:

  • 單位矩陣 I-I

  • 反對角 (anti-diagonal) 排列矩陣

    \displaystyle  K=\begin{bmatrix}  0&\cdots&0&1\\  0&\cdots&1&0\\  \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\  1&\cdots&0&0  \end{bmatrix}

  • 列交換矩陣,例如,

    \displaystyle  E=\begin{bmatrix}  0&1&0&0\\  1&0&0&0\\  0&0&1&0\\  0&0&0&1  \end{bmatrix}

  • 簽名 (signature ) 矩陣

    \displaystyle  S=\begin{bmatrix}  \pm 1&0&\cdots&0\\  0&\pm 1&\cdots&0\\  \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\  0&0&\cdots&\pm 1  \end{bmatrix}

  • Householder 矩陣 H=I-2\mathbf{u}\mathbf{u}^\ast,其中 \Vert\mathbf{u}\Vert^2=\mathbf{u}^\ast\mathbf{u}=1 (見“特殊矩陣 (4):Householder 矩陣”)。直接計算可驗證

\displaystyle\begin{aligned}  H^2&=(I-2\mathbf{u}\mathbf{u}^\ast)^2=I-4\mathbf{u}\mathbf{u}^\ast+4\mathbf{u}\mathbf{u}^\ast\mathbf{u}\mathbf{u}^\ast\\  &=I-4\mathbf{u}\mathbf{u}^\ast+4\mathbf{u}\mathbf{u}^\ast=I  .\end{aligned}

下面我們介紹對合矩陣的構造法以及性質。

 
冪等矩陣:若不考慮正負號,任一對合矩陣對應唯一的冪等 (idempotent) 矩陣。

若一個 n\times n 階矩陣 P 滿足 P^2=P,則稱之為冪等矩陣。設 A 為對合矩陣,則 P=(I\pm A)/2 是冪等矩陣,因為

\displaystyle  P^2=\left(\frac{I\pm A}{2}\right)^2=\frac{I\pm 2A+A^2}{4}=\frac{2I\pm 2A}{4}=\frac{I\pm A}{2}=P

相反的,若 P 為冪等矩陣,則 A=\pm(2P-I) 是對合矩陣,因為

\displaystyle  A^2=(\pm(2P-I))^2=4P^2-4P+I=4P-4P+I=I

稍後我們將證明唯一性 (見譜分解)。

 
相似性:若 A 是對合矩陣,且 B 相似於 A,則 B 是對合矩陣。

A^2=IB=MAM^{-1},則 B^2=MA^2M^{-1}=MIM^{-1}=I

 
對角化:任一對合矩陣可對角化為 \hbox{diag}(1,\ldots,1,-1,\ldots,-1)

下面提供三種證明。

(1) 冪等矩陣:給定一個 n\times n 階對合矩陣 A,冪等矩陣 P=(I+A)/2 可對角化為 P=SDS^{-1},其中 D=\hbox{diag}(1,\ldots,1,0,\ldots,0) (證明見“特殊矩陣 (5):冪等矩陣”,性質5)。所以,A 可對角化如下:

\displaystyle  A=2P-I=2SDS^{-1}-I=S(2D-I)S^{-1}

上式中,2D-I=\hbox{diag}(1,\ldots,1,-1,\ldots,-1),即知對合矩陣 A 的特徵值為 1-1

 
(2) 最小多項式:顧名思義,最小多項式是次數最小的消滅多項式。因為最小多項式整除任何消滅多項式 (見“最小多項式 (上)”),A^2-I=(A-I)(A+I)=0 表明 A 的最小多項式 m_A(t)(t-1)(t+1),或 (t-1)(t+1)。不論何種情況,最小多項式 m_A(t) 各因式的次數皆為 1,這意味 A 相似於一個對角矩陣,也就是說,A 可對角化 (見“最小多項式 (下)”)。若 m_A(t)=(t-I),則 A 相似於 I,故 A=SIS^{-1}=I。若 m_A(t)=(t+1),則 A 相似於 -I,故 A=S(-I)S^{-1}=-I。若 m_A(t)=(t-1)(t+1),則 A 相似於一個簽名矩陣 \begin{bmatrix}  I_k&0\\  0&-I_{n-k}  \end{bmatrix}1\le k\le n-1

 
(3) Jordan 典型形式:設 n\times n 階對合矩陣 A 的 Jordan 典型形式為 A=SJS^{-1},下面證明 J=\begin{bmatrix}  I_k&0\\  0&-I_{n-k}  \end{bmatrix},其中 0\le k\le n。設 A 的 Jordan 矩陣為

\displaystyle  J=J_1(\lambda)\oplus\cdots\oplus J_k(\lambda)=\begin{bmatrix}  J_1(\lambda)&&\\  &\ddots&\\  &&J_k(\lambda)  \end{bmatrix}

其中 \lambda\in\{1,-1\}J_i(\lambda)n_i\times n_i 階 Jordan 分塊

\displaystyle  J_{n_i}(1)=\begin{bmatrix}  \lambda&1&&&\\  &\lambda&1&&\\  &&\ddots&\ddots&\\  &&&\lambda&1\\  &&&&\lambda  \end{bmatrix}

因為 A^2=SJ^2S^{-1}=I,可知

\displaystyle  I=J^2=\begin{bmatrix}  J_1(\lambda)^2&&\\  &\ddots&\\  &&J_k(\lambda)^2  \end{bmatrix}

也就是說,J_i(\lambda)^2=I_{n_i}1\le i\le k。然而,J_i(\lambda)^2 相似於 Jordan 分塊 J_i(\lambda^2) (見“Jordan 分塊”,定理二),即 I_{n_i} 相似於 J_i(1),推得 J_i(\lambda)=\pm I_{n_i}。經過適切的分塊主對角排序,對合矩陣 A 可對角化為 A=S\begin{bmatrix}  I_k&0\\  0&-I_{n-k}  \end{bmatrix}S^{-1}0\le k\le n

 
譜分解:任一對合矩陣 A 可分解為 A=P-Q,其中 P^2=PQ^2=QPQ=QP=0P+Q=I

將對合矩陣 A 的對角化表達式改寫為譜分解:

\displaystyle\begin{aligned}  A&=S\begin{bmatrix}  I_k&0\\  0&-I_{n-k}  \end{bmatrix}S^{-1}\\  &=\begin{bmatrix}  X_1&X_2  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  I_k&0\\  0&-I_{n-k}  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  Y_1^T\\  Y_2^T  \end{bmatrix}\\  &=X_1Y_1^T-X_2Y_2^T=P-Q,\end{aligned}

其中 P=X_1Y_1^TQ=X_2Y_2^T 是冪等矩陣,並滿足 PQ=QP=0P+Q=I (證明見“可對角化矩陣的譜分解”)。可對角化矩陣有唯一的譜分解,也就是說,PQ 唯一存在。寫出 A=P-Q=P-(I-P)=2P-IA=P-Q=(I-Q)-Q=I-2Q,即有 P=(I+A)/2Q=(I-A)/2。如果不考慮正負號,對合矩陣和冪等矩陣有一對一的對應關係。

 
子空間與矩陣秩:對於一個 n\times n 階對合矩陣 A,令 C(A) 表示 A 的行空間 (column space),N(A) 表示 A 的零空間 (nullspace)。下列性質成立:

  1. N(I+A)=C(I-A)C(I+A)=N(I-A)
  2. C(I+A)\cap N(I+A)=\{\mathbf{0}\}
  3. \hbox{rank}(I+A)+\hbox{rank}(I-A)=n
  4. \hbox{rank}(I+A)=\frac{1}{2}\hbox{trace}(I+A)
  5. \hbox{rank}A=n\det A=\pm 1

通過對合矩陣與冪等矩陣的互換表達,P=(I+A)/2,套用冪等矩陣性質 (見“特殊矩陣 (5):冪等矩陣”):

  1. N(P)=C(I-P)C(P)=N(I-P)
  2. C(P)\cap N(P)=\{\mathbf{0}\}
  3. \hbox{rank}P+\hbox{rank}(I-P)=n
  4. \hbox{rank}P=\hbox{trace}P

可證明對合矩陣的性質 (1-4)。對合矩陣 A 的特徵值為 1-1A 是可逆矩陣,性質 (5) 必然成立。

 
么正矩陣:對合 Hermitian 矩陣是么正 (unitary) 矩陣 (對合實對稱矩陣是正交 (orthogonal) 矩陣)。

A^2=IA^\ast=A,則 A^2=AA^\ast=IA 是么正矩陣。但相反方向的命題不成立,例如,A=\left[\!\!\begin{array}{cr}  \cos\theta&-\sin\theta\\  \sin\theta&\cos\theta  \end{array}\!\!\right]\theta\neq k\pik 是整數。

 
最後說明 2\times 2 階對合矩陣的顯式表達。所有的 2\times 2 階對合矩陣 A=SDS^{-1} 可區分為三類:

  1. D=I,即 A=I
  2. D=-I,即 A=-I
  3. D=\hbox{diag}(1,-1),設 S=\begin{bmatrix}  a&b\\  c&d  \end{bmatrix}ad-bc\neq 0,則

    \displaystyle\begin{aligned}  A&=\begin{bmatrix}  a&b\\  c&d  \end{bmatrix}\left[\!\!\begin{array}{cr}  1&0\\  0&-1  \end{array}\!\!\right]\frac{1}{ad-bc}\left[\!\!\begin{array}{rr}  d&-b\\  -c&a  \end{array}\!\!\right]\\  &=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}  ad+bc&-2ab\\  2cd&-(ad+bc)  \end{bmatrix}.\end{aligned}

    例如,設 (a,b,c,d)=(2,1,3,2),可得 A=\left[\!\!\begin{array}{rc}  7&-4\\  12&-7  \end{array}\!\!\right]

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