特殊矩陣 (22)：對合矩陣

本文的閱讀等級：中級

對合函數 (involution) 是逆函數等於自身的函數，也就是說，對合函數 $f$ 的定義域中所有 $x$ 滿足 $f(f(x))=x$ 。令 $A$ 為一個定義於 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 的 $n\times n$ 階矩陣。若 $A^2=I$ ，即 $A^{-1}=A$ ，則 $A$ 稱為對合 (involutory) 矩陣。換句話說，對合矩陣是單位矩陣的所有平方根。常見的對合矩陣包括：

單位矩陣 $I$ 和 $-I$
反對角 (anti-diagonal) 排列矩陣
$\displaystyle K=\begin{bmatrix} 0&\cdots&0&1\\ 0&\cdots&1&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 1&\cdots&0&0 \end{bmatrix}$
列交換矩陣，例如，
$\displaystyle E=\begin{bmatrix} 0&1&0&0\\ 1&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$
簽名 (signature ) 矩陣
$\displaystyle S=\begin{bmatrix} \pm 1&0&\cdots&0\\ 0&\pm 1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\pm 1 \end{bmatrix}$
Householder 矩陣 $H=I-2\mathbf{u}\mathbf{u}^\ast$ ，其中 $\Vert\mathbf{u}\Vert^2=\mathbf{u}^\ast\mathbf{u}=1$ (見“特殊矩陣 (4)：Householder 矩陣”)。直接計算可驗證

$\displaystyle\begin{aligned} H^2&=(I-2\mathbf{u}\mathbf{u}^\ast)^2=I-4\mathbf{u}\mathbf{u}^\ast+4\mathbf{u}\mathbf{u}^\ast\mathbf{u}\mathbf{u}^\ast\\ &=I-4\mathbf{u}\mathbf{u}^\ast+4\mathbf{u}\mathbf{u}^\ast=I .\end{aligned}$

下面我們介紹對合矩陣的構造法以及性質。

冪等矩陣：若不考慮正負號，任一對合矩陣對應唯一的冪等 (idempotent) 矩陣。

若一個 $n\times n$ 階矩陣 $P$ 滿足 $P^2=P$ ，則稱之為冪等矩陣。設 $A$ 為對合矩陣，則 $P=(I\pm A)/2$ 是冪等矩陣，因為

$\displaystyle P^2=\left(\frac{I\pm A}{2}\right)^2=\frac{I\pm 2A+A^2}{4}=\frac{2I\pm 2A}{4}=\frac{I\pm A}{2}=P$ 。

相反的，若 $P$ 為冪等矩陣，則 $A=\pm(2P-I)$ 是對合矩陣，因為

$\displaystyle A^2=(\pm(2P-I))^2=4P^2-4P+I=4P-4P+I=I$ 。

稍後我們將證明唯一性 (見譜分解)。

相似性：若 $A$ 是對合矩陣，且 $B$ 相似於 $A$ ，則 $B$ 是對合矩陣。

若 $A^2=I$ 且 $B=MAM^{-1}$ ，則 $B^2=MA^2M^{-1}=MIM^{-1}=I$ 。

對角化：任一對合矩陣可對角化為 $\hbox{diag}(1,\ldots,1,-1,\ldots,-1)$ 。

下面提供三種證明。

(1) 冪等矩陣：給定一個 $n\times n$ 階對合矩陣 $A$ ，冪等矩陣 $P=(I+A)/2$ 可對角化為 $P=SDS^{-1}$ ，其中 $D=\hbox{diag}(1,\ldots,1,0,\ldots,0)$ (證明見“特殊矩陣 (5)：冪等矩陣”，性質5)。所以， $A$ 可對角化如下：

$\displaystyle A=2P-I=2SDS^{-1}-I=S(2D-I)S^{-1}$ 。

上式中， $2D-I=\hbox{diag}(1,\ldots,1,-1,\ldots,-1)$ ，即知對合矩陣 $A$ 的特徵值為 $1$ 或 $-1$ 。

(2) 最小多項式：顧名思義，最小多項式是次數最小的消滅多項式。因為最小多項式整除任何消滅多項式 (見“最小多項式 (上)”)， $A^2-I=(A-I)(A+I)=0$ 表明 $A$ 的最小多項式 $m_A(t)$ 為 $(t-1)$ ， $(t+1)$ ，或 $(t-1)(t+1)$ 。不論何種情況，最小多項式 $m_A(t)$ 各因式的次數皆為 $1$ ，這意味 $A$ 相似於一個對角矩陣，也就是說， $A$ 可對角化 (見“最小多項式 (下)”)。若 $m_A(t)=(t-I)$ ，則 $A$ 相似於 $I$ ，故 $A=SIS^{-1}=I$ 。若 $m_A(t)=(t+1)$ ，則 $A$ 相似於 $-I$ ，故 $A=S(-I)S^{-1}=-I$ 。若 $m_A(t)=(t-1)(t+1)$ ，則 $A$ 相似於一個簽名矩陣 $\begin{bmatrix} I_k&0\\ 0&-I_{n-k} \end{bmatrix}$ ， $1\le k\le n-1$ 。

(3) Jordan 典型形式：設 $n\times n$ 階對合矩陣 $A$ 的 Jordan 典型形式為 $A=SJS^{-1}$ ，下面證明 $J=\begin{bmatrix} I_k&0\\ 0&-I_{n-k} \end{bmatrix}$ ，其中 $0\le k\le n$ 。設 $A$ 的 Jordan 矩陣為

$\displaystyle J=J_1(\lambda)\oplus\cdots\oplus J_k(\lambda)=\begin{bmatrix} J_1(\lambda)&&\\ &\ddots&\\ &&J_k(\lambda) \end{bmatrix}$ ，

其中 $\lambda\in\{1,-1\}$ ， $J_i(\lambda)$ 是 $n_i\times n_i$ 階 Jordan 分塊

$\displaystyle J_{n_i}(1)=\begin{bmatrix} \lambda&1&&&\\ &\lambda&1&&\\ &&\ddots&\ddots&\\ &&&\lambda&1\\ &&&&\lambda \end{bmatrix}$ 。

因為 $A^2=SJ^2S^{-1}=I$ ，可知

$\displaystyle I=J^2=\begin{bmatrix} J_1(\lambda)^2&&\\ &\ddots&\\ &&J_k(\lambda)^2 \end{bmatrix}$ ，

也就是說， $J_i(\lambda)^2=I_{n_i}$ ， $1\le i\le k$ 。然而， $J_i(\lambda)^2$ 相似於 Jordan 分塊 $J_i(\lambda^2)$ (見“Jordan 分塊”，定理二)，即 $I_{n_i}$ 相似於 $J_i(1)$ ，推得 $J_i(\lambda)=\pm I_{n_i}$ 。經過適切的分塊主對角排序，對合矩陣 $A$ 可對角化為 $A=S\begin{bmatrix} I_k&0\\ 0&-I_{n-k} \end{bmatrix}S^{-1}$ ， $0\le k\le n$ 。

譜分解：任一對合矩陣 $A$ 可分解為 $A=P-Q$ ，其中 $P^2=P$ ， $Q^2=Q$ ， $PQ=QP=0$ 且 $P+Q=I$ 。

將對合矩陣 $A$ 的對角化表達式改寫為譜分解：

$\displaystyle\begin{aligned} A&=S\begin{bmatrix} I_k&0\\ 0&-I_{n-k} \end{bmatrix}S^{-1}\\ &=\begin{bmatrix} X_1&X_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_k&0\\ 0&-I_{n-k} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} Y_1^T\\ Y_2^T \end{bmatrix}\\ &=X_1Y_1^T-X_2Y_2^T=P-Q,\end{aligned}$

其中 $P=X_1Y_1^T$ 和 $Q=X_2Y_2^T$ 是冪等矩陣，並滿足 $PQ=QP=0$ 和 $P+Q=I$ (證明見“可對角化矩陣的譜分解”)。可對角化矩陣有唯一的譜分解，也就是說， $P$ 和 $Q$ 唯一存在。寫出 $A=P-Q=P-(I-P)=2P-I$ 和 $A=P-Q=(I-Q)-Q=I-2Q$ ，即有 $P=(I+A)/2$ ， $Q=(I-A)/2$ 。如果不考慮正負號，對合矩陣和冪等矩陣有一對一的對應關係。

子空間與矩陣秩：對於一個 $n\times n$ 階對合矩陣 $A$ ，令 $C(A)$ 表示 $A$ 的行空間 (column space)， $N(A)$ 表示 $A$ 的零空間 (nullspace)。下列性質成立：

$N(I+A)=C(I-A)$ ， $C(I+A)=N(I-A)$
$C(I+A)\cap N(I+A)=\{\mathbf{0}\}$
$\hbox{rank}(I+A)+\hbox{rank}(I-A)=n$
$\hbox{rank}(I+A)=\frac{1}{2}\hbox{trace}(I+A)$
$\hbox{rank}A=n$ ， $\det A=\pm 1$

通過對合矩陣與冪等矩陣的互換表達， $P=(I+A)/2$ ，套用冪等矩陣性質 (見“特殊矩陣 (5)：冪等矩陣”)：

$N(P)=C(I-P)$ ， $C(P)=N(I-P)$
$C(P)\cap N(P)=\{\mathbf{0}\}$
$\hbox{rank}P+\hbox{rank}(I-P)=n$
$\hbox{rank}P=\hbox{trace}P$

可證明對合矩陣的性質 (1-4)。對合矩陣 $A$ 的特徵值為 $1$ 或 $-1$ ， $A$ 是可逆矩陣，性質 (5) 必然成立。

么正矩陣：對合 Hermitian 矩陣是么正 (unitary) 矩陣 (對合實對稱矩陣是正交 (orthogonal) 矩陣)。

若 $A^2=I$ 且 $A^\ast=A$ ，則 $A^2=AA^\ast=I$ ， $A$ 是么正矩陣。但相反方向的命題不成立，例如， $A=\left[\!\!\begin{array}{cr} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{array}\!\!\right]$ ， $\theta\neq k\pi$ ， $k$ 是整數。

最後說明 $2\times 2$ 階對合矩陣的顯式表達。所有的 $2\times 2$ 階對合矩陣 $A=SDS^{-1}$ 可區分為三類：

$D=I$ ，即 $A=I$ ；
$D=-I$ ，即 $A=-I$ ；
$D=\hbox{diag}(1,-1)$ ，設 $S=\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}$ ， $ad-bc\neq 0$ ，則

$\displaystyle\begin{aligned} A&=\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}\left[\!\!\begin{array}{cr} 1&0\\ 0&-1 \end{array}\!\!\right]\frac{1}{ad-bc}\left[\!\!\begin{array}{rr} d&-b\\ -c&a \end{array}\!\!\right]\\ &=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} ad+bc&-2ab\\ 2cd&-(ad+bc) \end{bmatrix}.\end{aligned}$

例如，設 $(a,b,c,d)=(2,1,3,2)$ ，可得 $A=\left[\!\!\begin{array}{rc} 7&-4\\ 12&-7 \end{array}\!\!\right]$ 。

2 Responses to 特殊矩陣 (22)：對合矩陣

chordates says:

05/19/2017 at 10:55 am

請問老師有關involutory matrix有建議的教科書或其他參考資料嗎？謝謝！

- ccjou says:
  
  05/19/2017 at 1:56 pm
  
  我沒看過專書involutory matrix的教科書，但上網應可查找到一些資料。

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