每週問題 December 2, 2013

若一矩陣的所有特徵值皆等於 1,則此矩陣相似於其逆矩陣。

Let A be an n\times n matrix with characteristic polynomial p(t)=(t-1)^n. Show that A is similar to its inverse.

 
參考解答:

因為 n\times n 階矩陣 An 個特徵值 1,設 A 的 Jordan 典型形式為 A=SJS^{-1},其中

J=J_1\oplus\cdots\oplus J_k=\begin{bmatrix}  J_1&&\\  &\ddots&\\  &&J_k  \end{bmatrix}

這裡 J_i 表示 n_i\times n_i 階 Jordan 分塊,n_1+\cdots+n_k=n,如下:

\displaystyle  J_i=\begin{bmatrix}  1&1& & &\\  &1&1 & &\\   & &\ddots&\ddots&\\   & & & 1& 1\\   & & & & 1  \end{bmatrix}

若每一 J_i 相似於 J_i^{-1},即存在一可逆矩陣 M_i 使得 J_i=M_iJ_i^{-1}M_i^{-1},則

\displaystyle\begin{aligned}  J&=\begin{bmatrix}  J_1&&\\  &\ddots&\\  &&J_k  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  M_1&&\\  &\ddots&\\  &&M_k  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  J_1^{-1}&&\\  &\ddots&\\  &&J_k^{-1}  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  M_1^{-1}&\\  &\ddots&\\  &&M_k^{-1}  \end{bmatrix}\\  &=(M_1\oplus\cdots\oplus M_k)J^{-1}(M_1\oplus\cdots\oplus M_k)^{-1}\\  &=MJ^{-1}M,  \end{aligned}

即知 J 相似於 J^{-1}。因此,S^{-1}AS=MS^{-1}A^{-1}SM^{-1},或 A=(SMS^{-1})A^{-1}(SMS^{-1})^{-1},故 A 相似於 A^{-1}。剩下的工作只要證明 Jordan 分塊 J_i 相似於 J_i^{-1} 即可。注意,n_i\times n_i 階 Jordan 分塊 J_i 的特徵多項式 p_{J_i}(t) 和最小多項式 m_{J_i}(t) 同為 (t-1)^{n_i}。根據最小多項式定義,(J_i-I)^k\neq 00\le k\le n_i-1,且 (J_i-I)^{n_i}=0。所以,

\displaystyle\begin{aligned}    (J_i^{-1})^k(J_i-I)^k&=(I-J_i^{-1})^k=(-1)^k(J_i^{-1}-I)^k\neq 0,~~0\le k\le n_i-1\\    (J_i^{-1})^{n_i}(J_i-I)^{n_i}&=(I-J_i^{-1})^{n_i}=(-1)^{n_i}(J_i^{-1}-I)^{n_i}=0.    \end{aligned}

上面兩式表明 m_{J_i^{-1}}(t)=(t-1)^{n_i}。最小多項式整除特徵多項式,故 n_i\times n_i 階矩陣 J_i^{-1} 的特徵多項式是 p_{J_i^{-1}}(t)=(t-1)^{n_i}。從以上結果可斷言 J_i^{-1} 相似於 J_i,否則 J_i^{-1} 包含不止一個 Jordan 分塊,最小多項式必為 m_{J_i^{-1}}(t)=(t-1)^qq<n_i

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