矩陣相似於其逆的充要條件

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任一 n\times n 階矩陣 A 相似於 A^T (見“矩陣與其轉置的相似性”)。我們不免好奇:對於可逆矩陣 A,在甚麼條件下,A 相似於 A^{-1}?考慮極端的情況:二個相等的方陣必定相似。若 A=A^{-1},或 A^2=I,我們稱之為對合 (involutory) 矩陣 (見“特殊矩陣 (22):對合矩陣”)。除了對合矩陣,是否還有其他的 A 相似於 A^{-1}?二人同心,其利斷金。若 A=BC,其中 BC 是對合矩陣,則

\displaystyle  A^{-1}=(BC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}=CB=BBCB=BAB^{-1}

即知 A 相似於 A^{-1}。二個對合矩陣的乘積不僅是矩陣相似於其逆的充分條件,也是必要條件。反向論證較為複雜,本文運用兩種特殊型態矩陣──Jordan 分塊和相伴 (companion) 矩陣──證明:若 A 相似於 A^{-1},則存在對合矩陣 BC 使得 A=BC

 
首先介紹對合矩陣的相似變換性質。以下用 A\sim B 表示 A 相似於 B

 
性質一:設 A 為一對合矩陣。若 A\sim B,則 B 為對合矩陣。

如果 A^2=IB=SAS^{-1},則 B^2=SA^2S^{-1}=SIS^{-1}=I,故知相似變換維持對合性。

 
性質二:設 A 是二對合矩陣乘積。若 A\sim B,則 B 可表示為二個對合矩陣的乘積。

假設 A=PQP^2=IQ^2=I。若 B=SAS^{-1},則 B=SPQS^{-1}=SPS^{-1}SQS^{-1},其中 SPS^{-1}SQS^{-1} 是對合矩陣,因為

\displaystyle\begin{aligned}  (SPS^{-1})^2&=SP^2S^{-1}=SIS^{-1}=I\\  (SQS^{-1})^2&=SQ^2S^{-1}=SIS^{-1}=I.  \end{aligned}

 
我們的目標要證明 A\sim A^{-1} 推得 A 為二對合矩陣的乘積。下面採用 Jordan 典型形式推導所求。令 n\times n 階可逆矩陣 A 的 Jordan 形式為 A=SJS^{-1},其中 J 是 Jordan 矩陣 (見“Jordan 形式大解讀 (上)”)。因為 A\sim JA^{-1}\sim J^{-1},相似關係具有傳遞性,故 A\sim A^{-1} 等價於 J\sim J^{-1}。如果能找出對合矩陣 PQ 使得 J=PQ,性質二申明 A 可表示為二個對合矩陣,即 B=SPS^{-1}C=SQS^{-1},的乘積。所以我們僅須考慮 Jordan 矩陣,也就是證明:若 J\sim J^{-1},則 J 可分解為 J=PQ,其中 P^2=IQ^2=I

 
n\times n 階 Jordan 矩陣為

\displaystyle  J=J_1\oplus\cdots\oplus J_q=\begin{bmatrix}  J_1&&\\  &\ddots&\\  &&J_q  \end{bmatrix}

其中 J_i=J_i(\lambda)n_i\times n_i 階 Jordan 分塊,n_1+\cdots+n_q=n,如下:

\displaystyle  J_i(\lambda)=\begin{bmatrix}  \lambda&1&&\\  &\ddots&\ddots&\\  &&\ddots&1\\  &&&\lambda  \end{bmatrix}

對於 i\neq j,Jordan 分塊 J_i 的特徵值和 J_j 的特徵值未必相同。分塊對角矩陣的逆矩陣也是分塊對角矩陣,即有

\displaystyle  J^{-1}=\begin{bmatrix}  J_1^{-1}&&\\  &\ddots&\\  &&J_q^{-1}  \end{bmatrix}

假設 J\sim J^{-1},可能發生兩種情況:(1) J_i\sim J_i^{-1},(2) J_i\sim J_j^{-1},即 J_j\sim J_i^{-1}i\neq j。如果 (1) J_i=P_iQ_i,其中 P_iQ_in_i\times n_i 階對合矩陣;(2) \begin{bmatrix}  J_i&0\\  0&J_j  \end{bmatrix}=P_rQ_r,其中 P_rQ_r(2n_i)\times(2n_i) 階對合矩陣,則 J 可表示為對合矩陣乘積 P_iQ_i 的直和 (經過適當的主對角分塊排序):

\displaystyle  J=\begin{bmatrix}  P_1Q_1&&\\  &\ddots&\\  &&P_sQ_s  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  P_1&&\\  &\ddots&\\  &&P_s  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  Q_1&&\\  &\ddots&\\  &&Q_s  \end{bmatrix}=PQ

明顯地,P=P_1\oplus\cdots\oplus P_sQ=Q_1\oplus\cdots\oplus Q_s 是對合矩陣。如此即可得證。

 
情況1:設 Jordan 分塊 J_i(\lambda)\sim J_i(\lambda)^{-1}。使用 Jordan 分塊的相似性質 (見“Jordan 分塊”,定理三和定理四):J_i(\lambda)^{-1}\sim J_i(\lambda^{-1})-J_i(\lambda)\sim J_i(-\lambda)。由前者推得 J_i(\lambda)\sim J_i(\lambda^{-1}),故 \lambda=\lambda^{-1},或 \lambda=\pm 1;由後者可知 J_i(-1) 相似於 -J_i(1),因此只要考慮 \lambda=1 即可。為簡化符號,設 k=n_i,且

\displaystyle  J_i=J_i(1)=\begin{bmatrix}  1&1&&\\  &\ddots&\ddots&\\  & & \ddots&1\\  &&&1  \end{bmatrix}

通過觀察不容易將 J_i 分解為二個對合矩陣乘積 (請不要完全採信我的話,讀者不妨自己嘗試一下)。直進直出不成,不妨避正打斜。這時候我們需要引進其他的想法。根據性質二,假如可以找出一矩陣 M 使得 M\sim J_iM 可分解為二個對合矩陣乘積,即大功告成。寫出 J_i 的特徵多項式 p_{J_i}(t) 和最小多項式 (次數最小的消滅多項式) m_{J_i}(t),如下:

\displaystyle  p_{J_i}(t)=m_{J_i}(t)=(t-1)^k

在此引用一個特別的性質:k\times k 階相伴矩陣

\displaystyle  C=\begin{bmatrix}  0&0&\cdots&0&-c_0\\  1&0&\cdots&0&-c_1\\  \vdots&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\  0&\cdots&1&0&-c_{k-2}\\  0&0&\cdots&1&-c_{k-1}  \end{bmatrix}

有相同的特徵多項式和最小多項式 (見“多項式的相伴矩陣”)

\displaystyle  p_C(t)=m_C(t)=t^k+c_{k-1}t^{k-1}+\cdots+c_1t+c_0

相伴矩陣 C 也可以用 C^T 取代,原因是轉置運算不改變特徵多項式和最小多項式。考慮一相伴矩陣 C 滿足

\displaystyle  p_C(t)=m_C(t)=(t-1)^k=\sum_{j=0}^k\binom{k}{j}(-1)^{k-j}t^{j}

C\sim J_i (證明見“Jordan 分塊”,定理一)。我們的挑戰是將 C 分解成二個對合矩陣乘積。觀察發現 C 的左下 (n-1)\times(k-1) 階分塊為單位矩陣,這是解題線索。將 C 的行向量 (column vector) 反向排序,以矩陣乘法表示為 C=FK,如下:

\displaystyle  \begin{bmatrix}  0&0&\cdots&0&-c_0\\  1&0&\cdots&0&-c_1\\  \vdots&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\  0&\cdots&1&0&-c_{k-2}\\  0&0&\cdots&1&-c_{k-1}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  -c_0&0&\cdots&0&0\\  -c_1&0&\cdots&0&1\\\  \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\  -c_{k-2}&0&1&\cdots&0\\  -c_{k-1}&1&\cdots&0&0  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  0&0&\cdots&0&1\\  0&0&\cdots&1&0\\  \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\  0&1&\cdots&0&0\\  1&0&\cdots&0&0  \end{bmatrix}

上式中,K 是一反對角 (anti-diagonal) 排列矩陣,K^2=I。將 F 表示為分塊形式

\displaystyle  F=\begin{bmatrix}  -c_0&0\\  -\mathbf{c}&K_{k-1}  \end{bmatrix}

其中 \mathbf{c}=(c_1,\ldots,c_{k-1})^T。令 F 自乘,可得

\displaystyle\begin{aligned}  F^2&=\begin{bmatrix}  -c_0&0\\  -\mathbf{c}&K_{k-1}  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  -c_0&0\\  -\mathbf{c}&K_{k-1}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  c_0^2&0\\  c_0\mathbf{c}-K_{k-1}\mathbf{c}&K_{k-1}^2  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  c_0^2&0\\  c_0\mathbf{c}-K_{k-1}\mathbf{c}&I_{k-1}  \end{bmatrix}.\end{aligned}

因為 c_0=(-1)^k,可得 c_0^2=1。如果 k 是偶數,c_0=1,使用二項式係數性質 \binom{k}{j}=\binom{k}{k-j},可得 c_j=\binom{k}{j}(-1)^{k-j}=\binom{k}{k-j}(-1)^{j}=c_{k-j},則

\displaystyle  c_0\mathbf{c}-K_{k-1}\mathbf{c}=\begin{bmatrix}  c_1\\  \vdots\\  c_{k-1}  \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}  c_{k-1}\\  \vdots\\  c_1  \end{bmatrix}=\mathbf{0}

如果 k 是奇數,c_0=-1c_j=\binom{k}{j}(-1)^{k-j}=-\binom{k}{k-j}(-1)^{j}=-c_{k-j},則

\displaystyle  c_0\mathbf{c}-K_{k-1}\mathbf{c}=-\begin{bmatrix}  c_1\\  \vdots\\  c_{k-1}  \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}  c_{k-1}\\  \vdots\\  c_1  \end{bmatrix}=\mathbf{0}

合併以上結果即有 F^2=I

 
情況2:設 Jordan 分塊 J_i(\lambda)\sim J_j(\mu)^{-1},即 J_j(\mu)\sim J_i(\lambda)^{-1}。因為 J_i(\lambda)^{-1}\sim J_i(\lambda^{-1}),可知 J_j(\mu)\sim J_i(\lambda^{-1}),故 \mu=\lambda^{-1}。令 k=n_i=n_j

\displaystyle  J_i=J_i(\lambda)=\begin{bmatrix}  \lambda&1&&\\  &\ddots&\ddots&\\  & & \ddots&1\\  &&&\lambda  \end{bmatrix},~~J_j=J_j(\lambda^{-1})=\begin{bmatrix}  \lambda^{-1}&1&&\\  &\ddots&\ddots&\\  & & \ddots&1\\  &&&\lambda^{-1}  \end{bmatrix}

所以,

\displaystyle  \begin{bmatrix}  J_i&0\\  0&J_j  \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}  J_i&0\\  0&J_i^{-1}\end{bmatrix}

最後一個步驟,寫出

\displaystyle  \begin{bmatrix}  J_i&0\\  0&J_i^{-1}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  0&J_i\\  J_i^{-1}&0  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  0&I\\  I&0  \end{bmatrix}

其中 F=\begin{bmatrix}  0&J_i\\  J_i^{-1}&0  \end{bmatrix}K=\begin{bmatrix}  0&I\\  I&0  \end{bmatrix} 都是對合矩陣,驗證於下:

\displaystyle\begin{aligned}  F^2&=\begin{bmatrix}  0&J_i\\  J_i^{-1}&0  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  0&J_i\\  J_i^{-1}&0  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  J_iJ_i^{-1}&0\\  0&J_i^{-1}J_i  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  I&0\\  0&I  \end{bmatrix}\\  K^2&=\begin{bmatrix}  0&I\\  I&0  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  0&I\\  I&0  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  I^2&0\\  0&I^2  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  I&0\\  0&I  \end{bmatrix}.\end{aligned}

 
本文所使用 Jordan 分塊、相伴矩陣,以及對合矩陣的性質不常見於一般教科書,我將它們整理於下。令 J(\lambda)k\times k 階 Jordan 分塊,C(\lambda) 為一 k\times k 階相伴矩陣,其特徵多項式和最小多項式為 (t-\lambda)^k。設 \lambda\neq 0

  • Jordan 分塊 J(\lambda) 相似於相伴矩陣 C(\lambda),即有 J(\lambda)^{-1} 相似於 C(\lambda)^{-1}
  • Jordan 分塊的逆 J(\lambda)^{-1} 相似於 J(\lambda^{-1}),推知 C(\lambda)^{-1} 相似於 C(\lambda^{-1})
  • 相伴矩陣 C(\lambda) 可分解為 C(\lambda)=FK,其中 F^2=IK^2=IK 是反對角排列矩陣。
  • 分塊對角矩陣 A=\begin{bmatrix}  B&0\\  0&B^{-1}  \end{bmatrix} 可分解為 A=FK,其中 F=\begin{bmatrix}  0&B\\  B^{-1}&0  \end{bmatrix}K=\begin{bmatrix}  0&I\\  I&0  \end{bmatrix} 是對合矩陣。

下圖顯示 Jordan 分塊與相伴矩陣的相似關係,雙向箭頭代表相似關係:

相似於其逆

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