每週問題 December 30, 2013

本週問題是證明二同構的向量空間的基底存在唯一的線性映射。

Suppose the vector spaces \mathcal{V} and \mathcal{W} have bases \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} and \{\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n\}, respectively. Show that there is exactly one linear transformation T:\mathcal{V}\to\mathcal{W} with the property T(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i, for i=1,\ldots,n.

 
參考解答:

對於 \mathcal{V} 中任一向量 \mathbf{x},存在唯一數組 c_1,\ldots,c_n 使得 \mathbf{x}=c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_n\mathbf{v}_n。定義

\displaystyle  T(\mathbf{x})=c_1\mathbf{w}_1+\cdots+c_n\mathbf{w}_n

\mathbf{x}=\mathbf{v}_i 代入上式,可得 T(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_ii=1,\ldots,n。設 \mathbf{y}=d_1\mathbf{v}_1+\cdots+d_n\mathbf{v}_n,對於任意 \alpha\beta

\displaystyle\begin{aligned}  T(\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y})&=T(\alpha c_1\mathbf{v}_1+\cdots+\alpha c_n\mathbf{v}_n+\beta d_1\mathbf{v}_1+\cdots+\beta d_n\mathbf{v}_n)\\  &=T((\alpha c_1+\beta d_1)\mathbf{v}_1+\cdots+(\alpha c_n+\beta d_n)\mathbf{v}_n)\\  &=(\alpha c_1+\beta d_1)\mathbf{w}_1+\cdots+(\alpha c_n+\beta d_n)\mathbf{w}_n\\  &=\alpha(c_1\mathbf{w}_1+\cdots+c_n\mathbf{w}_n)+\beta(d_1\mathbf{w}_1+\cdots+d_n\mathbf{w}_n)\\  &=\alpha T(\mathbf{x})+\beta T(\mathbf{y}),  \end{aligned}

T 為一線性變換。假設 T' 為一線性變換滿足 T'(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_ii=1,\ldots,n。根據 TT' 的定義,每一 \mathbf{x}=c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_n\mathbf{v}_n 都有

\displaystyle\begin{aligned}  T'(\mathbf{x})&=T'(c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_n\mathbf{v}_n)\\  &=c_1T'(\mathbf{v}_1)+\cdots+c_nT'(\mathbf{v}_n)\\  &=c_1\mathbf{w}_1+\cdots+c_n\mathbf{w}_n=T(\mathbf{x}),\end{aligned}

因此證明 T'=T

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